✖

Podprzestrzeń liniowa

Kapitoly: Przestrzenie liniowe, Przykłady przestrzeni liniowych, Podprzestrzeń liniowa, Kombinacja liniowa wektorów, Powłoka liniowa, Baza przestrzeni liniowej, Wymiar przestrzeni liniowej, Macierz przejścia

Podprzestrzeń liniowa to podzbiór jakiejś przestrzeni liniowej, który nadal jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Definicja

Weźmy jakąś przestrzeń liniową V. Podprzestrzenią liniową W byłby wtedy jakiś podzbiór przestrzeni V, przy czym zbiór W byłby jednocześnie przestrzenią liniową. Niepusty podzbiór W ⊆ V musi więc spełniać te dwa warunki, żeby był podprzestrzenią liniową przestrzeni V: dla wszystkich x, y ∈ W i dla każdego a ∈ ℝ:

  • x+y ∈ W,
  • a · x ∈ W.

Musimy więc wybrać z V taki podzbiór, żeby te wektory były zamknięte ze względu na dodawanie i mnożenie.

Podprzestrzeń przestrzeni R3

Weźmy przestrzeń ℝ3 i znajdźmy jakąś podprzestrzeń.

  1. Co na przykład ze wszystkimi trójkami postaci (a, a, a), gdzie a∈ ℝ? Czyli z trójkami takimi jak $\left(1, 1, 1\right), \left(\frac12, \frac12, \frac12\right)$ albo (−π, −π, −π). Taka podprzestrzeń, oznaczmy ją W1, byłaby podzbiorem przestrzeni ℝ3, czyli W1⊆ ℝ3, bo ℝ3 po prostu zawiera wszystkie trójki.

Taka przestrzeń byłaby zamknięta ze względu na dodawanie wektorów, bo

$$\left(a,a,a\right)+\left(b,b,b\right)=\left(a+b, a+b,a+b\right).$$

Po dodaniu dwóch wektorów dostalibyśmy nowy wektor, który znowu miałby trzy jednakowe składowe, a taki wektor należy do zbioru W1. Zbiór W1 spełnia więc pierwszy warunek podprzestrzeni liniowej. Czy spełnia jednak drugi warunek?

Tak, spełnia, bo mnożenie przez k znowu zmieni wszystkie trzy składowe wektora, ale zmieni je dokładnie tak samo:

$$k\cdot\left(a,a,a\right)=\left(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a\right).$$

Znowu dostaniemy wektor, który ma wszystkie trzy składowe jednakowe, a taki wektor należy do zbioru W1. Zbiór W1 jest więc podprzestrzenią liniową ℝ3.

  • Możemy spróbować wziąć wszystkie trójki (a, b, c) takie, że a, b, c ∈ <−1, 1>. Ten zbiór oznaczymy W2, a jego elementami są na przykład trójki $\left(\frac12, -\frac27, \frac89\right)$ albo $\left(0, \frac{\pi}{4}, 1\right)$. Czy elementy W2 są zamknięte ze względu na dodawanie? Na pewno nie, bo $\left(1, 1, 1\right)+\left(\frac12, \frac13, \frac14\right)$ jest równe trójce $\left(\frac32, \frac43, \frac54\right)$, która nie należy do W2. Zbiór W2 nie tworzy więc podprzestrzeni przestrzeni ℝ3, zbiór W2 w ogóle nie tworzy przestrzeni.

  • Teraz weźmiemy wszystkie trójki postaci (a, 0, b), gdzie a, b∈ ℝ. To wszystkie trójki, które mają drugą składową zerową. Oznaczmy ten zbiór W3. Czy ten zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie? Tak, jest, bo

$$\left(a, 0, b\right)+\left(c, 0, d\right)=\left(a+c, 0, b+d\right)$$

Wynikiem jest trójka (a + c, 0, b + d), która ma drugą składową zerową, a na pozostałych dwóch miejscach liczby rzeczywiste. Ta trójka na pewno należy do W3. Czy W3 jest zamknięty ze względu na mnożenie? Tak, jest, bo

$$k\cdot\left(a, 0, b\right)=\left(k\cdot a, 0, k\cdot b\right)$$

Znowu dostaniemy trójkę (k · a, 0, k · b), która ma drugą składową zawsze zerową, a pozostałe składowe są liczbami rzeczywistymi. Taka trójka jest elementem W3. Zbiór W3 tworzy więc podprzestrzeń przestrzeni ℝ3. Zauważmy, że gdyby trójki miały postać (a, b, 0) albo (a, 0, 0), też tworzyłyby podprzestrzeń liniową.

Podprzestrzeń wielomianów

W poprzednim artykule pokazaliśmy przestrzeń liniową złożoną z wielomianów. Dla przypomnienia: wielomian to wyrażenie postaci

$$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n.$$

Zakładamy, że an≠0. Stopniem takiego wielomianu jest wtedy właśnie liczba n. Liczby rzeczywiste a0, …, an nazywamy współczynnikami wielomianu. Przykładem wielomianu może być wyrażenie 4 + 3x − 7x2. Spróbujemy znaleźć jakąś podprzestrzeń liniową. Weźmy więc przestrzeń liniową P(x) wszystkich wielomianów.

  1. Najpierw sprawdzimy zbiór wszystkich wielomianów stopnia n, gdzie n≥0, oznaczmy ten zbiór W1. W poprzednim artykule pokazaliśmy już, że to w ogóle nie jest przestrzeń liniowa, więc trudno, żeby była podprzestrzenią liniową przestrzeni P(x). Przypomnijmy więc, że jeśli na przykład pomnożymy wielomian z W1 przez zero, dostaniemy wielomian p(x) = 0, który z definicji ma stopień −1. Ten element na pewno nie należy do żadnego W1.

  2. Spróbujemy za W2 wziąć wszystkie wielomiany stopnia n i mniejszego. Czyli dla n = 2 będą w W2 wszystkie wielomiany stopnia 2, 1, 0, −1. Czy ten zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie? Tak, jest, bo suma dwóch wielomianów stopnia n nigdy nie będzie miała stopnia większego niż n, może mieć najwyżej mniejszy. Tak samo ten zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie, bo iloczyn wielomianu p(x) przez dowolną liczbę k może dać w wyniku albo wielomian tego samego stopnia, albo wielomian zerowy. Obie możliwości obejmuje zbiór W2, więc W2 tworzy podprzestrzeń przestrzeni P(X).

Podstawowe własności podprzestrzeni

Weźmy przestrzeń liniową V i dwie jej podprzestrzenie W1 i W2. Wtedy zachodzi:

  1. Część wspólna W1 ∩ W2 jest podprzestrzenią liniową V.

    Weźmy przestrzeń liniową ℝ3 i podprzestrzenie W1 i W2 takie, że W1 tworzą trójki postaci (a, b, 0), a W2 trójki postaci (a, 0, b), gdzie a, b ∈ ℝ. Częścią wspólną W1 ∩ W2 będzie więc zbiór zawierający trójki postaci (a, 0, 0) — taki zbiór jest oczywiście podprzestrzenią przestrzeni ℝ3.

    To jednak oczywiście nie jest dowód. Ten wyglądałby tak: weźmiemy dowolną przestrzeń liniową V i jej dwie podprzestrzenie W1 i W2. Chcemy teraz udowodnić, że dla wszystkich x, y ∈ W1∩ W2 zachodzi x+y∈ W1∩ W2.

    Ponieważ wektory x i y należą do części wspólnej W1∩ W2, na pewno musi zachodzić x, y∈ W1 i jednocześnie x, y ∈ W2 (wynika to z definicji części wspólnej zbiorów). Ponieważ W1 i W2 są jednocześnie przestrzeniami liniowymi, musi też zachodzić x+y∈ W1 i jednocześnie musi zachodzić x+y∈ W2 (wynika to z definicji przestrzeni liniowej). Mamy więc teraz x+y∈ W1 i jednocześnie x+y∈ W2, z czego wynika, że x+y∈ W1∩ W2 (znowu na podstawie definicji części wspólnej zbiorów — jeśli element leży w zbiorze W1 i leży też w zbiorze W2, musi leżeć także w ich części wspólnej).

    Dalej musimy sprawdzić zamkniętość ze względu na mnożenie. Musimy udowodnić, że dla wszystkich k∈ ℝ i x∈ W1∩ W2 zachodzi k · x∈ W1∩ W2. Postępujemy tak samo. Ponieważ x∈ W1∩ W2, to jednocześnie x∈ W1 i x∈ W2. Ponieważ W1 i W2 są przestrzeniami, to k · x∈ W1 i jednocześnie k · x ∈ W2, a więc k · x ∈ W1 ∩ W2. $\Box$

  2. Suma zbiorów W1 ∪ W2 nie musi być podprzestrzenią V.

    Żeby udowodnić drugą własność, wystarczy znaleźć odpowiedni kontrprzykład. Wystarczą nam poprzednie przestrzenie W1 i W2, złożone odpowiednio z trójek postaci (a, b, 0) i (a, 0, b). Jeśli weźmiemy sumę tych zbiorów, dostaniemy wszystkie trójki, które mają zero na drugim albo trzecim miejscu. Wektory (1,0,1) i (1, 1, 0) na pewno należą więc do sumy zbiorów W1 ∪ W2. Jednak po ich dodaniu dostajemy wektor (2, 1, 1), czyli wektor, który nigdzie nie ma zera. Ten wektor nie należy ani do W1, ani do W2, więc nie może należeć też do W1 ∪ W2. Znaleźliśmy więc dwa wektory, których suma nie należy do tego samego zbioru, więc nie może to być przestrzeń liniowa.