Przykłady przestrzeni liniowych

W poprzedniej części zdefiniowaliśmy przestrzenie wektorowe, czyli przestrzenie liniowe, i pokazaliśmy przykład klasycznej przestrzeni liniowej ℝ². W tym artykule przyjrzymy się kolejnym przykładom.

Przestrzeń liniowa Rⁿ

Znamy już przestrzeń liniową ℝ², która składa się z wektorów postaci (a, b), gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi. Pokażemy, że tak naprawdę każdy zbiór uporządkowanych n-ek ℝⁿ dla n > 0 tworzy przestrzeń liniową.

Dla n = 2 dostaniemy zbiór par (a, b). Jeśli zwiększymy n do n = 3, dostaniemy zbiór trójek. W ten sposób z płaszczyzny przechodzimy do przestrzeni. ℝ² przedstawia więc zwykłą płaszczyznę, a ℝ³ zwykłą trójwymiarową przestrzeń.

Definicje działań dodawania i mnożenia są takie same jak w przypadku n = 2, tylko zawsze musimy dodać/pomnożyć wszystkie składowe wektorów:

$$\begin{eqnarray} \left(a_1, a_2, …, a_n\right) + \left(b_1, b_2, …, b_n\right) &=& \left(a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n\right)\\ k\cdot\left(a_1, a_2, …, a_n\right) &=& \left(k\cdot a_1, k\cdot a_2, …, k\cdot a_n\right) \end{eqnarray}$$

Teraz powinniśmy udowodnić, że przestrzeń liniowa ℝ³, a ogólnie ℝⁿ, spełnia wszystkie siedem punktów z definicji przestrzeni liniowej. Dowody byłyby jednak w zasadzie takie same, tylko zamiast z wektorem o dwóch składowych pracowalibyśmy z wektorem o trzech składowych. Na przykład pierwszy punkt, mówiący o przemienności dodawania wektorów, udowodnilibyśmy dla n = 3 tak:

Mamy udowodnić: x + y = y + x, gdzie x, y ∈ ℝ³. Rozpisalibyśmy dodawanie dwóch wektorów:

$$\left(a, b, c\right) + \left(d, e, f\right) = \left(a+d, b+e, c+f\right)$$

Jeśli po lewej stronie zamienimy wektory miejscami, dostaniemy:

$$\left(d, e, f\right) + \left(a, b ,c\right) = \left(d+a, e+b, f+c\right)$$

Z własności dodawania dwóch liczb rzeczywistych wynika jednak, że otrzymane wektory są takie same, czyli (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Jeśli porównasz to z dowodem dla n = 2 w poprzednim artykule, zobaczysz, że ten dowód jest praktycznie taki sam. Pozostałe sześć punktów można więc udowodnić w podobny sposób.

Ciekawe jest natomiast to, że przestrzenią liniową jest też ℝ¹ = ℝ, sam zbiór liczb rzeczywistych. Dodawanie i mnożenie wektorów zmieni się wtedy w zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych, a dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych na pewno spełnia wszystkie 7 punktów.

Z przestrzenią ℝⁿ na pewno jeszcze się spotkamy, to dość powszechna przestrzeń liniowa.

Przestrzeń liniowa macierzy m× n

Zbiór wszystkich macierzy, które mają m wierszy i n kolumn i zawierają tylko liczby rzeczywiste, tworzy razem z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez skalar przestrzeń liniową. W skrócie będziemy tę przestrzeń oznaczać ℝ^{m× n}.

Dla m = 2, n = 3 dostalibyśmy macierze, które mają dwa wiersze i trzy kolumny. Przykładem konkretnej macierzy jest

$$\begin{pmatrix} 4&5&1\\ 9&1&3 \end{pmatrix}$$

Działanie dodawania zdefiniujemy tak:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&…&b_{mn}\\ \end{pmatrix} =$$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&…&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Zwykłe dodawanie macierzy. Mnożenie przez skalar zdefiniujemy podobnie:

$$ k \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&…&k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&…&k\cdot a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&…&k\cdot a_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Zbiór wszystkich macierzy ℝ^{m× n} z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową. Ważne jest, że zawsze musimy wziąć zbiór wszystkich macierzy tego samego wymiaru. Gdyby zaplątała się tam macierz innego wymiaru, na przykład gdybyśmy do ℝ^{2× 2} dodali macierz wymiaru 3 × 1, mielibyśmy problem, bo macierzy wymiaru 3 × 1 nie możemy nawet dodać do macierzy wymiaru 2 × 2.

Teraz znowu powinniśmy sprawdzić, że tak zdefiniowana przestrzeń liniowa spełnia wszystkie 7 warunków, które stawiamy przestrzeni liniowej. Ponieważ przy macierzach byśmy się napisali, a przede wszystkim ja bym się napisał, to tylko krótko:

Dodawanie dwóch macierzy daje nową macierz tego samego wymiaru. Mnożenie przez skalar daje nową macierz tego samego wymiaru, więc wynik obu działań należy znowu do naszego zbioru.

1. x + y = y + x: dodawanie macierzy jest oczywiście przemienne, bo element o współrzędnych ij w macierzy wynikowej będzie miał postać $x_{ij}+y_{ij} = y_{ij}+x_{ij}$.

• (x+y)+z = x+(y+z): dodawanie macierzy jest też łączne, bo $(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij})$
• a · (b · x) = (a · b) · x: znowu zachodzi $a \cdot (b\cdot x_{ij}) = (a\cdot b)\cdot x_{ij}$
• a · (x + y) = a · x + a · y: znowu dla elementów o współrzędnych ij dostajemy równość: $a \cdot (x_{ij} + y_{ij}) = a\cdot x_{ij} + a\cdot y_{ij}$
• (a + b) · x = a · x+b · x: znowu tylko wyrazimy element o współrzędnych ij: $(a+b)\cdot x_{ij} = a\cdot x_{ij}+b\cdot x_{ij}$
• 1 · x = x: ponieważ $1\cdot x_{ij} = x_{ij}$, ten punkt też zachodzi.
• Istnienie elementu zerowego. Jest nim macierz zerowa, bo dla wszystkich macierzy x naszej przestrzeni liniowej zachodzi 0 · x_ij = 0

Przestrzeń liniowa wielomianów

Wielomian oznaczamy p(x) i jest to wyrażenie postaci:

$$ p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n. $$

Zakładamy, że a_n≠0. Stopniem takiego wielomianu jest wtedy właśnie liczba n. Liczby rzeczywiste a₀, …, a_n nazywamy współczynnikami wielomianu. Przykładem wielomianu może być wyrażenie 4 + 3x − 7x², gdzie a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, a stopień wielomianu wynosi 2. Niektóre współczynniki mogą być zerowe, więc wyrażenie x²+π x⁷ jest wielomianem stopnia 7, a₂ = 1, a₇ = π, a pozostałe współczynniki są zerowe.

Wielomiany możemy łatwo dodawać — po prostu dodajemy ich współczynniki. Przykład:

$$ (2+3x-x^2) + (4-5x+101x^2+5x^3) = 6-2x+100x^2+5x^3 $$

Ogólnie moglibyśmy zdefiniować dodawanie wielomianów tak:

$$ (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_m x^m) = $$

$$ = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + … + (a_q+b_q) x^q,$$

gdzie q jest większą z liczb m i n. Iloczyn wielomianu p(x) przez liczbę k dostaniemy wtedy tak, że przez liczbę k pomnożymy wszystkie współczynniki:

$$k\cdot (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) =$$ $$= (k\cdot a_0) + (k\cdot a_1)x + (k\cdot a_2)x^2 + … + (k\cdot a_n) x^n$$

Dla przykładu:

$$ 7\cdot (3+6x-5x^2) = 21+42x-35x^2 $$

Zbiór wszystkich wielomianów, oznaczmy go P(X), z tak zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy przestrzeń liniową. Sprawdzenie:

Suma dwóch wielomianów znowu daje wielomian, mnożenie przez skalar też tworzy nowy wielomian. Wynik obu zdefiniowanych przez nas działań należy więc znowu do naszego zbioru.

Kolejne siedem własności, które musi spełniać przestrzeń liniowa, możesz już sprawdzić w ramach pracy domowej. Dowód będzie praktycznie taki sam jak w przypadku macierzy, tylko zamiast x_ij będziesz pisać x_i. Wielomianem zerowym jest wtedy wielomian p(x) = 0.

O ile w przypadku macierzy wymagaliśmy, żeby w przestrzeni liniowej były tylko macierze tego samego wymiaru, o tyle w przypadku wielomianów tego nie wymagamy. Nawet nie możemy tego wymagać. Gdybyśmy wzięli zbiór wszystkich wielomianów stopnia drugiego, ten zbiór nie tworzyłby przestrzeni liniowej. Dlaczego? Możemy to pokazać na kontrprzykładzie. Dodamy te dwa wielomiany:

$$ \left(1+2x+3x^2\right) + \left(1+2x-3x^2\right) = 2+4x $$

Ponieważ w pierwszym wielomianie jest 3x², a w drugim −3x², po dodaniu dostaliśmy 0x², przez co jednak obniżyliśmy stopień wielomianu. Wielomian 2 + 4x jest wielomianem stopnia 1, a nie 2.