✖

Baza przestrzeni liniowej

Kapitoly: Przestrzenie liniowe, Przykłady przestrzeni liniowych, Podprzestrzeń liniowa, Kombinacja liniowa wektorów, Powłoka liniowa, Baza przestrzeni liniowej, Wymiar przestrzeni liniowej, Macierz przejścia

Baza przestrzeni liniowej V to zbiór liniowo niezależnych wektorów, których powłoką liniową jest przestrzeń V.

Po co wprowadzamy bazę przestrzeni liniowej

Weźmy jakąś przestrzeń liniową V i jakiś podzbiór W ⊂ V taki, że powłoka liniowa <W> tego zbioru jest równa przestrzeni V, czyli <W> = V. Przykład: niech W = {(1,0), (0,1), (2, 3)} i V = ℝ2.

Oczywiście zachodzi <W> = ℝ2. Zbiór W ma tylko trzy wektory, a mimo to dzięki powłoce liniowej potrafimy nim opisać cały nieskończony zbiór wektorów ℝ2. Nasuwa się pytanie — czy możemy ze zbioru W usunąć jeszcze jakieś wektory i przy tym zachować własność <W> = ℝ2?

Gdybyśmy na przykład wyrzucili ostatni wektor (2,3), dostalibyśmy zbiór W1 = {(1,0), (0,1)}. Powłoką liniową tego zbioru jest znowu ℝ2. Nasuwa się więc pytanie — jaki najmniejszy zbiór wektorów ma za swoją powłokę liniową zbiór ℝ2?

Gdybyśmy z W1 usunęli którykolwiek z dwóch pozostałych wektorów, ten zbiór, oznaczmy go W2, nie miałby już za swoją powłokę zbioru ℝ2. Np. powłoką liniową zbioru W2 = {(1,0)} byłby zbiór <W2> = {(a,0),|,a∈ ℝ}. To na pewno nie jest równe zbiorowi ℝ2, brakuje tam na przykład wektora (0,1).

Zbiór W1 = {(1,0), (0,1)} jest więc minimalnym zbiorem wektorów, którego powłoką liniową jest przestrzeń ℝ2. Dalej mogą nas interesować kolejne pytania:

  1. Czy istnieje jakiś zupełnie inny zbiór jednoelementowy, którego powłoką liniową byłaby przestrzeń ℝ2?
  2. Czy istnieje jakiś jedyny najmniejszy zbiór wektorów, którego powłoką liniową byłaby przestrzeń ℝ2?

Jak wszyscy wiemy z brukowców, jeśli tytuł w gazecie ma formę pytania, odpowiedź brzmi nie i w tym przypadku jest tak samo. Nie istnieje zbiór jednoelementowy, który miałby powłokę liniową ℝ2. Dowód możemy przeprowadzić tak:

Czy istnieje zbiór jednoelementowy, którego powłoką jest ℝ2?

Załóżmy, że istnieje zbiór {x} zawierający jeden wektor x, którego wszystkie kombinacje liniowe tworzą przestrzeń ℝ2. Wtedy muszą istnieć liczby rzeczywiste a1, a2 takie, że

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \mathbf{x} &=& \left(1{,}0\right)\\ a_2 \cdot \mathbf{x} &=& \left(0{,}1\right)\\ \end{eqnarray}$$

Dlaczego akurat te wektory? W zasadzie jest obojętne, jakie wektory wybierzemy, chodzi tylko o to, żeby były liniowo niezależne.

Oznaczmy x = (x1, x2). Wtedy na pewno x1, x2 ≠ 0, bo gdyby x1 = 0, to trudno byłoby nam dostać jakąś kombinacją liniową wektora x szukany wektor (1,0). To samo dla x2. Poprzedni układ równań po prostu rozpiszemy:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \left(x_1, x_2\right) &=& \left(1{,}0\right)\\ a_2 \cdot \left(x_1, x_2\right) &=& \left(0{,}1\right)\\ \end{eqnarray}$$

To rozpiszemy na równania:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot x_1 &=& 1\\ a_1 \cdot x_2 &=& 0\\ a_2 \cdot x_1 &=& 0\\ a_2 \cdot x_2 &=& 1 \end{eqnarray}$$

Z drugiego i trzeciego równania wynika, że a1 = a2 = 0, bo skoro x1, x2 ≠ 0, to zostaje tylko możliwość a1 = a2 = 0, żebyśmy w iloczynach a1 · x2 i a2 · x1 dostali zero. To jest jednak sprzeczne z pierwszym i czwartym równaniem, bo jeśli a1 = 0, to a1 · x1 = 0, a pierwsze równanie mówi, że a1 · x1 = 1.

Żaden jednoelementowy zbiór nie może więc mieć za swoją powłokę liniową przestrzeni ℝ2.

Czy istnieje najmniejszy zbiór wektorów, którego powłoką jest ℝ2?

Wiemy, że nie istnieje zbiór jednoelementowy z tą własnością, i wiemy, że zbiór W = {(1,0), (0,1)} ma za swoją powłokę liniową ℝ2. Pytamy więc, czy ten zbiór jest jedynym zbiorem dwuelementowym, który ma za swoją powłokę ℝ2.

Oczywiście, że nie jest, bo także inny zbiór dwuelementowy W = {(2,0), (0,2)} ma powłokę ℝ2. Każda para wektorów (a,0), (0,a), a∈ ℝ, a≠0 ma za swoją powłokę ℝ2. Tak naprawdę każda para liniowo niezależnych wektorów ma za swoją powłokę ℝ2. Istnieje więc nieskończenie wiele zbiorów dwuelementowych, które swoją powłoką mogą generować ℝ2.

Jednocześnie zachodzi, że każdy trzyelementowy podzbiór W3⊆ℝ2 będzie się składał z wektorów zależnych. Dlaczego? Jeśli mamy trzy wektory (a, b), (c, d), (e, f), możemy je zapisać w macierzy:

$$\begin{pmatrix} a&c&e\\ b&d&f \end{pmatrix}$$

Ta macierz ma rząd co najwyżej dwa, musi w niej więc koniecznie istnieć jakaś liniowo zależna kolumna/wektor.

Definicja bazy przestrzeni liniowej

Weźmy przestrzeń liniową V. Dalej niech B ⊆ V. Powiemy, że B jest bazą przestrzeni liniowej V, jeśli zachodzi:

  1. <B> = V
  2. B jest liniowo niezależnym zbiorem wektorów.

Baza jest niezależnym zbiorem wektorów, którego powłoką jest przestrzeń V. Baza jest więc minimalnym zbiorem wektorów, którego powłoką jest przestrzeń V. Zachodzi, że gdybyśmy z bazy usunęli jeden element, powłoką nie byłaby już przestrzeń V. Gdybyśmy jeden wektor dodali, ten wektor byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów.

Jeśli poruszamy się w przestrzeni ℝn, to zbiór n-tek (1,0,…,0), (0,1,0,…,0), …, (0,0,…,0,1) tworzy bazę przestrzeni ℝn i ta baza nazywa się bazą standardową (kanoniczną). Np. dla ℝ3 dostalibyśmy bazę standardową (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Wtedy wektor (a,b,c) dostalibyśmy jako kombinację

$$ a \cdot \left(1{,}0,0\right) + b \cdot \left(0{,}1,0\right) + c \cdot \left(0{,}0,1\right) $$

Gdybyśmy usunęli wektor (0,1,0), powłoką tego nowego zbioru nie byłaby ℝ3. Gdybyśmy dodali wektor (14,−2,5), ten wektor byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów ze współczynnikami a = 14, b = −2, c = 5.

Podstawowe własności bazy przestrzeni liniowej

  • Każda przestrzeń liniowa V ma bazę z wyjątkiem przestrzeni trywialnej {0} — przestrzeni, która zawiera jedyny wektor, zerowy. Każdy liniowo niezależny zbiór B0 ⊆ V jest albo bazą przestrzeni V, albo da się go uzupełnić do bazy. Jeśli B0 nie jest bazą, tj. <B0>≠ V, to istnieje wektor x0∈ V ∖ <B0>. Ten wektor nie jest kombinacją wektorów z B0. Dodamy go do zbioru B0 i dostaniemy nowy zbiór B1 = B0 ∪ {x0}. Znowu możemy powiedzieć, że B1 jest albo bazą, albo da się go uzupełnić do bazy. Jeśli przestrzeń V ma bazę skończoną, to w skończonej liczbie kroków dostaniemy zbiór niezależnych wektorów Bn, który będzie bazą przestrzeni V.

  • Baza przestrzeni nie jest wyznaczona jednoznacznie, zawsze istnieje więcej baz.

  • Wszystkie bazy przestrzeni liniowej mają tę samą liczbę elementów/wektorów albo są nieskończone. Na przykład wszystkie bazy przestrzeni ℝ2 mają dwa wektory, żaden zbiór o trzech elementach ani zbiór o jednym elemencie nie jest bazą przestrzeni ℝ2.

  • Jeśli mamy bazę B = {e1, …, en} przestrzeni V, to każdy wektor x z przestrzeni V potrafimy wyrazić jako kombinację liniową wektorów z bazy, tj. istnieją współczynniki rzeczywiste a1, …, an takie, że

    $$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$

    Przy tym te współczynniki są wyznaczone jednoznacznie. Tj. gdyby dla współczynników b1, … bn zachodziło

    $$ \mathbf{x}=b_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{e}_n $$

    to musi to oznaczać, że a1 = b1, …, an = bn.