Okrąg Talesa i kąt oparty na średnicy
Kapitoly: Okrąg, Okrąg Talesa
Twierdzenie o kącie wpisanym opartym na półokręgu (czyli na średnicy) mówi, że wszystkie trójkąty, w których środek okręgu opisanego leży na najdłuższym boku, są prostokątne.
W Czechach (podobnie jak np. w krajach anglojęzycznych i w Niemczech) nazywa się je twierdzeniem Talesa, a okrąg z tego twierdzenia okręgiem Talesa. Uwaga: w polskiej szkole „twierdzenie Talesa” oznacza coś zupełnie innego, a mianowicie twierdzenie o proporcjonalności odcinków: jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu. Tutaj chodzi o kąt oparty na średnicy.
Opis okręgu Talesa
Pewien Tales z Miletu dawno temu odkrył ciekawą własność trójkąta. Narysujmy trójkąt i okrąg na nim opisany tak, żeby środek tego okręgu dzielił na pół przeciwprostokątną (najdłuższy bok) trójkąta. Spójrz na następujący rysunek:
Na rysunku mamy okrąg k o środku w punkcie S. Ten okrąg jest opisany na trójkącie ABC, czyli przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Ważne jest to, że przeciwprostokątna przechodzi przez środek okręgu, przez punkt S.
Wtedy kąt wewnętrzny ABC ma zawsze miarę $90^{\circ}$, jest to kąt prosty.
Gdziekolwiek przesuniemy wierzchołek B po okręgu, przy tym wierzchołku zawsze otrzymamy kąt prosty. Kilka kolejnych przykładów:
Dowód
Pokażemy, dlaczego trójkąt wpisany w okrąg Talesa jest zawsze prostokątny. Trochę zmodyfikujemy pierwszy rysunek:
Trójkąty SCB i ASB są równoramienne, bo zawsze mają dwa boki tej samej długości. W trójkącie SCB są to boki SC i SB, bo ich długość jest równa promieniowi okręgu. W drugim trójkącie są to boki SA i SB.
Dlatego kąty BCS i SBC mają tę samą miarę, na rysunku oznaczoną literą β. Tak samo w drugim trójkącie, tam jest ona oznaczona literą α.
Wiemy też, że suma kątów w trójkącie musi zawsze wynosić $180^{\circ}$. Teraz wyrazimy sumę kątów w trójkącie ABC za pomocą kątów α i β. Musi zachodzić
$$ \alpha + \beta + \alpha + \beta = 180. $$
Jeden kąt α odpowiada kątowi CAB, a drugi kąt α kątowi ABS. Tak samo dla kąta β. Poprzednie równanie jeszcze lekko przekształcimy:
$$ 2\alpha+2\beta = 180 $$
Dzielimy równanie przez dwa:
$$ \alpha+\beta = 90 $$
I dowód jest gotowy. Wiemy, że suma kątów α + β jest równa 90, i wiemy, że kąty α i β razem dają badany kąt wewnętrzny ABC.