Kwadrat

Kwadrat to podstawowa figura geometryczna, która ma cztery boki równej długości, a każdy jej kąt wewnętrzny ma miarę dokładnie 90 stopni. Istnieje też metoda, która nazywa się uzupełnianiem do pełnego kwadratu.

Opis

Przykład kwadratu możesz obejrzeć na poniższym rysunku.

Każdy kwadrat ma cztery wierzchołki, nasz ma wierzchołki A, B, C, D. Na rysunku są zaznaczone na niebiesko. Mówimy wtedy o kwadracie ABCD. Wierzchołki są połączone odcinkami tak, że tworzą cztery boki kwadratu. Konkretnie są to boki: AB, BC, CD, DA. Na rysunku boki są zaznaczone pogrubionymi liniami. Każdy z tych boków ma tę samą długość, konkretnie pięć.

Każdy bok tworzy z sąsiednimi bokami kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni.

Przekątne kwadratu

Zielonymi odcinkami są zaznaczone przekątne. Każdy kwadrat ma dwie przekątne, ten ma przekątne AC i DB. Przekątna to więc odcinek, który łączy dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu. Inne fakty o przekątnych:

• Przekątna jest zawsze dłuższa niż bok kwadratu.
• Dokładniej: jeżeli bok kwadratu ma długość a, to przekątna u ma długość $|u|=a\cdot\sqrt{2}$. To tylko zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.
• Przekątne zawsze przecinają się w środku kwadratu (który jest zarazem jego środkiem ciężkości).
• Przekątna dzieli kwadrat na dwie połowy. Obie przekątne dzielą kwadrat na cztery ćwiartki.
• Przekątne dzielą się nawzajem na połowy. Jeżeli środek kwadratu oznaczymy punktem S (jak na rysunku), to długość odcinka AS będzie taka sama jak długość odcinka CS.
• Przekątna dzieli kąt między sąsiednimi bokami na połowy. Na przykład na rysunku kąt ABC ma miarę 90 stopni, a kąt ABD ma miarę 45 stopni.
• Przekątne są do siebie prostopadłe.

Obwód i pole

Obwód to długość brzegu kwadratu, czyli suma długości wszystkich boków. Jeżeli więc kwadrat ma boki długości a, to obwód jest równy 4 · a. Pole to wielkość powierzchni, którą kwadrat zajmuje. Bierzesz długość jednego boku i mnożysz ją przez długość sąsiedniego boku. Ponieważ jednak kwadrat ma wszystkie boki równej długości, wystarczy pomnożyć a · a. Jeszcze raz w skrócie; obwód oznaczamy symbolem Ob, a pole literą P:

$$\begin{eqnarray} (\mbox{obwód})\quad Ob &=&4\cdot a\\ (\mbox{pole})\quad P&=&a\cdot a=a^2 \end{eqnarray}$$

Na przykład kwadrat z poprzedniego rysunku ma obwód 4 · 5 = 20 i pole 5 · 5 = 25.

Położenie kwadratu

Czy poniższa figura jest kwadratem?

Ta figura jest kwadratem, bo ma cztery boki, wszystkie równej długości, a każdy bok tworzy z każdym sąsiednim kąt prosty. Jeżeli kwadrat obrócimy, nadal pozostanie kwadratem. Jeżeli jednak na przykład zmienimy miary kątów, to już nie będzie kwadrat:

Cztery wierzchołki, cztery boki równej długości, ale nie wszystkie kąty są proste, więc nie jest to kwadrat.

Jak narysować kwadrat

Kwadrat rysuje się łatwo i prosto. Jedyne, co musisz znać, to długość boku. Jeżeli bok ma na przykład trzy centymetry, najpierw narysujesz odcinek o długości trzech centymetrów. Jego końce oznaczysz jako wierzchołki A i B (albo jak chcesz). Potem musisz za pomocą ekierki odmierzyć kąt prosty i narysować dwa prostopadłe odcinki z punktów A i B w stronę, którą wybierzesz. Odcinki będą miały znowu długość trzy. Nowe punkty oznacz C i D. Na koniec połącz odcinkiem punkty C i D.

Okrąg opisany i wpisany

Okrąg opisany i wpisany to dwa pojęcia, które pojawiają się razem z kwadratami. Oba okręgi mają środek w środku kwadratu, czyli w punkcie przecięcia przekątnych.

Okrąg opisany to okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki kwadratu. Ma promień AS, gdzie A jest (dowolnym) wierzchołkiem kwadratu, a S jego środkiem.

Okrąg wpisany to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków kwadratu. Ma promień a/2, gdzie a jest długością boku kwadratu.

Metr kwadratowy

Z kwadratem wiąże się też podstawowa jednostka pola, czyli właśnie metr kwadratowy. Co to znaczy? Jeżeli powiemy, że coś ma powierzchnię jednego metra kwadratowego, oznacza to, że ta powierzchnia ma takie samo pole jak kwadrat o boku długości jednego metra. Jeżeli masz pokój o powierzchni 10 metrów kwadratowych, oznacza to, że zmieści się w nim dziesięć takich kwadratów o boku jednego metra. Uwaga, nie oznacza to pola kwadratu o boku długości 10 metrów! Przejrzyście pokazuje to poniższy rysunek:

Gdybyś wziął kwadrat o boku długości 10 metrów, chodziłoby o jednostkę ar. Kwadrat o boku długości 100 metrów to hektar.