Prosta

Prosta to po punkcie najprostsza figura geometryczna i jest jednowymiarowa (ma jakby tylko długość). Mówiąc najprościej, prosta to nieskończenie długa linia prosta, która nie ma ani końca, ani początku.

Podstawowe własności

Prostą oznacza się zwykle małą literą drukowaną, na przykład a. Zadaje się ją najczęściej dwoma punktami, bo przez każde dwa punkty da się poprowadzić dokładnie jedną prostą. Istnieje też półprosta, która jest podobna do prostej, tylko ma początek (ale nadal nie ma końca). Na przykład ramiona kątów są półprostymi.

Zapis prostej na płaszczyźnie

Jeśli jesteśmy na płaszczyźnie, prostą możemy zapisać za pomocą funkcji liniowej, której wykresem jest zawsze prosta. Niestety ta metoda zawodzi w przestrzeni, bo funkcją liniową nie opiszesz trzeciego wymiaru. Na płaszczyźnie jest to jednak najprostszy sposób opisania dowolnej prostej, która nie jest równoległa do osi y. Jeśli masz daną funkcję, na pewno łatwo narysujesz z niej prostą, ale w drugą stronę może to już być problem. Weźmy więc taką narysowaną prostą:

Wzór funkcji liniowej wygląda tak: y = ax + b. Najpierw ustalimy b, czyli wyraz wolny. Najłatwiej zrobić to tak, że odczytamy z wykresu, w którym miejscu prosta przecina oś y, gdy wartość x jest równa zeru. Widzimy, że to dwa, dlatego b = 2. Wynika to z tego, że gdy ax jest równe zeru, jedynym sposobem, żeby we wzorze y = ax + b wyszło y równe 2, jest to, żeby wyraz wolny był równy dwa.

Teraz musimy dojść do tego, ile wynosi a. Wygodniej będzie, jeśli na chwilę usuniemy wyraz wolny i przyjmiemy, że jest równy zeru. Prosta przesunie się wtedy do początku układu współrzędnych i łatwiej odczytamy a:

Wyraźnie widać, że w punkcie x = 6 y ma wartość 2. Tę informację podstawimy do wzoru funkcji: 6a + 0 = 2. Stąd łatwo obliczymy, że $a=\frac26=\frac13$. Znamy już wartość a, więc możemy zapisać cały wzór funkcji, a zarazem prostej: y=1/3x+2.

$$ y=\frac{x}{3}+2 $$

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być względem siebie położone na kilka różnych sposobów. Zacznijmy więc od wzajemnego położenia na płaszczyźnie.

Jeśli masz dwie proste, które leżą jedna na drugiej i zlewają się w jedną — przecinają się we wszystkich punktach — nazywamy je prostymi pokrywającymi się. Jeśli proste przecinają się w jednym punkcie, nazywamy je prostymi przecinającymi się. Jeśli proste nie mają żadnego punktu wspólnego, nazywamy je prostymi równoległymi. Proste równoległe zaznacza się zwykle dwiema krótkimi kreskami na każdej z prostych, zobacz ostatni rysunek. Wszystko to przejrzyście podsumowują poniższe rysunki:

Jak ustalić wzajemne położenie prostych, dowiesz się z osobnego artykułu w dziale geometria analityczna. W tym samym dziale znajdziesz też, jak wyznaczyć równanie ogólne prostej, równanie parametryczne prostej albo równanie kierunkowe prostej.