Trójkąt

Trójkąt to figura geometryczna, którą tworzą trzy wierzchołki połączone trzema odcinkami.

Opis

Przyjrzyj się poniższemu rysunkowi: Na rysunku widać trójkąt utworzony przez wierzchołki A, B i C; jest to więc trójkąt ABC. Ma trzy boki: AB, BC, AC. Zauważ, że boki są dodatkowo oznaczone małymi literami. To oznaczenie ma swoją regułę — naprzeciw wierzchołka A leży bok a, naprzeciw wierzchołka B bok b, a naprzeciw wierzchołka C bok c. Od danego wierzchołka bierze więc zawsze nazwę bok leżący naprzeciw niego, czyli ten bok, do którego ten wierzchołek nie należy.

Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne, które zwykle oznaczamy greckimi literami alfa α, beta β i gamma γ. Suma wszystkich trzech kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180 stopni.

Trójkąt nie ma żadnych przekątnych, ma za to środkowe i wysokości.

Nierówność trójkąta

Nierówność trójkąta to ważna zależność, która zachodzi w każdym trójkącie. Mówi, że suma długości dowolnych dwóch boków jest zawsze większa od długości trzeciego, pozostałego boku. Zapisane wzorami:

$$\begin{eqnarray} |a|+|b|&>&|c|\\ |a|+|c|&>&|b|\\ |b|+|c|&>&|a| \end{eqnarray}$$

Co by się stało, gdyby ta nierówność nie zachodziła? Czyli gdyby jeden bok był dłuższy niż dwa pozostałe razem? Trójkąt by nie powstał, bo te dwa boki byłyby za krótkie i „nie sięgnęłyby do siebie”.

Gdyby zachodziła równość, czyli gdyby dwa boki razem były tak samo długie jak trzeci bok, to przy próbie narysowania trójkąta wszystkie punkty leżałyby na jednej prostej:

Nierówności trójkąta używa się też w definicjach innych pojęć, często w jakiś sposób związanych z odległością, bo tam ta zasada jest najbardziej naturalna. Jeśli mówimy o odległościach w prawdziwym świecie, to na pewno odległość w linii prostej z Warszawy do Krakowa jest mniejsza niż droga z Warszawy do Gdańska, a potem z Gdańska do Krakowa.

Rodzaje trójkątów

Wyróżniamy kilka rodzajów trójkątów, zwykle w zależności od długości boków i miar kątów.

• Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki tej samej długości. Wszystkie jego kąty wewnętrzne mają przy tym miarę 60 stopni.
• Trójkąt równoramienny ma dwa boki tej samej długości, a trzeci bok ma inną długość. Boki o tej samej długości nazywamy ramionami, a trzeci bok podstawą. Kąty, które ramiona takiego trójkąta tworzą z podstawą, są zawsze równe.
• Trójkąt ostrokątny ma każdy kąt wewnętrzny ostry, czyli mniejszy niż 90 stopni.
• Trójkąt prostokątny ma dokładnie jeden kąt prosty, czyli o mierze 90 stopni. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych, bo suma kątów wewnętrznych wynosi 180 — trzeci kąt musiałby wtedy mieć miarę zero, a to niemożliwe. W trójkącie prostokątnym zachodzi słynne twierdzenie Pitagorasa. Więcej informacji znajdziesz w osobnym artykule o trójkącie prostokątnym.
• Trójkąt rozwartokątny ma dokładnie jeden kąt rozwarty, czyli większy niż 90 stopni. Znowu uwaga: trójkąt nie może mieć dwóch kątów większych niż 90 stopni, więc pozostałe dwa kąty muszą być ostre, czyli mniejsze niż 90 stopni.