Okrąg

Okrąg to krzywa, której wszystkie punkty są tak samo oddalone od danego punktu, środka okręgu. Okrąg zalicza się też do krzywych stożkowych.

Opis okręgu

Przyjrzyj się rysunkowi okręgu:

Okrąg oznaczamy zwykle małą literą k albo l.

• Każdy okrąg ma środek, oznacza się go S.
• Wszystkie punkty okręgu są tak samo odległe od środka S; tę odległość nazywamy promieniem okręgu i oznaczamy r. Na rysunku jest to odcinek AS.
• Odcinek, który łączy dwa różne punkty okręgu, nazywa się cięciwa. Na rysunku odcinek FG.
• Cięciwa, która przechodzi przez środek S, nazywa się średnica okręgu i oznacza się ją d. Zachodzi 2r = d.

Mówimy też o wnętrzu i zewnętrzu okręgu. Wnętrze okręgu to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza niż promień okręgu. Zewnętrze to wszystkie punkty, których odległość od środka jest większa niż promień. Jeśli okrąg połączymy z jego wnętrzem (weźmiemy sumę tych zbiorów), otrzymamy koło.

Długość okręgu i pole koła

Jaki jest związek między średnicą okręgu a jego długością (obwodem)? Ile razy długość okręgu jest większa od jego średnicy? Jeśli weźmiesz jakieś koło i spróbujesz zmierzyć jego średnicę, a potem obwód, przekonasz się, że obwód jest mniej więcej trzy razy dłuższy. Dokładniej 3,1415 razy, a jeszcze dokładniej π razy.

Liczba π (czytamy „pi”) nazywa się też ludolfiną. Jest to liczba niewymierna, czyli liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym bez okresu. Jeśli więc średnica okręgu jest jakąś liczbą całkowitą, jego długości nigdy nie poznasz zupełnie dokładnie. W praktyce w zupełności wystarcza jednak znać jakąś wartość przybliżoną.

Wzór na długość okręgu, którą oznaczamy literą L, wygląda tak:

$$L=\pi d=2\pi r$$

Wzór na pole koła, które oznaczamy literą P:

$$P=\pi r^2$$

Wzajemne położenie dwóch okręgów

• Okręgi współśrodkowe mają wspólny środek S. Okręgi niewspółśrodkowe to takie okręgi, które nie mają wspólnego środka. Odcinek, który łączy ich środki, nazywamy odcinkiem środków.

• Okrąg k₁ leży na zewnątrz okręgu k₂, okręgi nie mają żadnego punktu wspólnego (okręgi rozłączne zewnętrznie).

• Okrąg k₁ leży na zewnątrz okręgu k₂, ale okręgi stykają się w jednym punkcie (okręgi styczne zewnętrznie).

• Okręgi przecinają się w dwóch punktach.

• Okrąg k₁ leży wewnątrz okręgu k₂ i okręgi stykają się w jednym punkcie (okręgi styczne wewnętrznie).

• Okrąg k₁ leży wewnątrz okręgu k₂ (okręgi rozłączne wewnętrznie).

Łuki

Każda cięciwa o końcach A i B dzieli okrąg na dwie części, które nazywamy łukami. Każdy punkt okręgu poza punktami A i B jest wtedy punktem wewnętrznym jednego z łuków. Łuk oznaczamy na przykład AXB, gdzie X jest punktem wewnętrznym łuku.

Jeśli cięciwa jest jednocześnie średnicą, dzieli okrąg na dwa przystające łuki, które nazywamy półokręgami. W przeciwnym razie okrąg zawsze podzieli się na dwa łuki różnej wielkości.

Kąt środkowy

Weźmy okrąg k o środku w punkcie S i łuk AB. Wtedy kąt ASB nazywamy kątem środkowym opartym na łuku AB. Na mniejszym łuku jest oparty wypukły kąt środkowy (kąt mniejszy niż $180^{\circ}$), na większym łuku kąt wklęsły (większy niż $180^{\circ}$).

Okrąg na rysunku ma zaznaczone dwa łuki AB. Większemu łukowi odpowiada kąt α, mniejszemu β.

Kąt wpisany

Weźmy okrąg k o środku w punkcie S i łuk AB. Wybierzmy jeszcze punkt V, który nie należy do tego łuku, ale leży na okręgu. Wtedy kąt AVB nazywa się kątem wpisanym opartym na tym łuku.

Na rysunku są dwa kąty wpisane, AV₁B i AV₂B. Zauważ, że oba mają tę samą miarę — $60^{\circ}$ — i że ta miara jest o połowę mniejsza niż miara kąta środkowego — $120^{\circ}$.