Kąt

Kąt to jedna z podstawowych figur geometrycznych. W tym artykule pokażemy, czym jest kąt, jak mierzy się kąty, które pary kątów warto znać i jak wykonuje się działania na kątach.

Czym jest kąt

Definicja kąta nie jest wcale taka prosta i istnieje kilka jej wersji. Na nasze potrzeby wystarczy jednak taka: kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi, które mają wspólny początek. W tej definicji ważne jest to, że kąt to nie tylko te dwa ramiona, ale cały obszar, cała część płaszczyzny, którą te dwa ramiona obejmują. Zobacz poniższy rysunek:

Poprzedni rysunek nie był jednak do końca prawdziwy, bo nie określiliśmy, o który kąt nam chodzi. Na pierwszy rzut oka pod kątem ABC moglibyśmy sobie co prawda wyobrazić zaznaczony obszar, ale równie dobrze moglibyśmy wyobrazić sobie drugą część płaszczyzny:

Dlatego zapisując kąty, powinniśmy rozróżniać, czy chodzi nam o kąt wypukły (taki, który ma mniej niż $180^{\circ}$), czy o kąt niewypukły (więcej niż $180^{\circ}$). Kąt niewypukły nazywamy też kątem wklęsłym. Można to zapisać na przykład za pomocą kąta skierowanego.

Kąt może mieć orientację dodatnią albo ujemną. Przy orientacji dodatniej poruszamy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a przy ujemnej zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W zapisie kąta ABC jako pierwsza jest więc wymieniona półprosta BA, a jako druga półprosta BC. W kierunku dodatnim spojrzymy na półprostą BA i będziemy się poruszać dalej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W naszym przykładzie powyżej wyszedłby nam pierwszy rysunek, czyli kąt wypukły. Gdybyśmy wybrali kierunek ujemny, otrzymalibyśmy kąt niewypukły, czyli drugi rysunek. Standardowo przyjmuje się kierunek dodatni i również w tym artykule kąty będą zapisywane w kierunku dodatnim.

Kąt składa się więc z dwóch ramion, które go ograniczają, z wierzchołka kąta, z którego te półproste wychodzą, oraz z obszaru, który wyznaczają ramiona kąta. Jeśli mamy kąt ABC, ramionami kąta są BA i BC, a wierzchołkiem jest B.

Miara kąta

Tak samo jak możemy zmierzyć długość odcinka, możemy też zmierzyć kąt (wyznaczyć jego miarę). Miarę kąta podaje się albo w klasycznej mierze stopniowej, którą na pewno znasz, albo w mierze łukowej. Miara stopniowa jest prosta: $90^{\circ}$ to kąt prosty (na przykład każdy z kątów wewnętrznych kwadratu ma $90^{\circ}$), $180^{\circ}$ to kąt półpełny (tworzą go na przykład półproste przeciwne), a $360^{\circ}$ to kąt pełny (tworzą go półproste, które leżą jedna na drugiej — taki kąt obejmuje całą płaszczyznę dookoła). Stopień dzieli się dalej na minuty (oznaczane ′) i sekundy (oznaczane ″). Jeden stopień ma 60 minut, a jedna minuta ma sześćdziesiąt sekund. $1^{\circ} = 60′$ i 1′ = 60″.

Rysunki poszczególnych kątów:

Miarę łukową trudniej już sobie wyobrazić, bo liczy się w niej w radianach, które nie są tak intuicyjne. Czym jest radian i jakie ma własności, opisywałem już w artykule o radianie, więc nie będę się powtarzał.

Kąty możemy dalej podzielić według miary na kąt ostry, który ma mniej niż $90^{\circ}$, i kąt rozwarty, który ma między $90^{\circ}$ a $180^{\circ}$. Są to jakby podzbiory kąta wypukłego, który pokazywałem wyżej. Więcej niż $180^{\circ}$ ma kąt niewypukły, którego już dalej nie dzielimy.

Pary kątów

Niektóre szczególne pary kątów mają różne własności, o których warto wiedzieć.

• Kąty wierzchołkowe to takie kąty, które mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona tworzą półproste przeciwne. Kąty wierzchołkowe są zawsze przystające, mają taką samą miarę.

• Kąty przyległe to takie kąty, które mają jedno ramię wspólne, a ich drugie ramiona są półprostymi przeciwnymi. Suma kątów przyległych jest zawsze równa $180^{\circ}$, czyli kątowi półpełnemu.

• Kąty odpowiadające to kąty, których pierwsze ramiona są równoległe, a drugie leżą na jednej prostej. Kąty muszą też mieć tę samą orientację. Kąty odpowiadające są przystające.

Istnieją jeszcze inne rodzaje kątów, ale to już tylko położenia, które da się wyprowadzić z tych trzech opisanych wyżej.

Działania na kątach

Na kątach możemy wykonywać pewne elementarne działania. Najbardziej podstawowe jest dodawanie. Rachunkowo nie ma tu prawie czego zepsuć, po prostu dodajesz miary kątów. Jeśli kąt ma więcej niż 360°, zwykle sprowadza się go do prostszej postaci, gdzieś w przedziale $0^{\circ} - 360^{\circ}$. Krótko mówiąc, jakbyś liczył w systemie o podstawie trzysta sześćdziesiąt. Podobnie gdy masz w przykładzie minuty albo sekundy, musisz liczyć w systemie sześćdziesiątkowym (tak jak na zwykłym zegarze).

Dla pewności jeden przykład. Dodaj kąty $\alpha = 183^{\circ} 51′$ i $\beta = 222^{\circ} 24′$. Najpierw policzymy minuty: $51′ + 24′ = 75′ = 1^{\circ} 15′$ (sposób jest prosty: dzielisz 75 przez sześćdziesiąt, wynik to liczba stopni, a reszta to liczba pozostałych minut). Teraz policzymy stopnie: $183^{\circ} + 222^{\circ} = 405^{\circ}$. Do tego wyniku częściowego dodamy poprzedni wynik: $405^{\circ} + 1^{\circ} 15′ = 406^{\circ} 15′$. Teraz będziemy ten kąt zmniejszać o 360 tak długo, aż znajdzie się w przedziale od 0 do 360. Zmniejszamy dlatego, że jeśli zatoczymy kąt o mierze $360^{\circ}$, jesteśmy z powrotem na początku, a kąt o mierze $361^{\circ}$ będzie na papierze wyglądał tak samo jak kąt o mierze $1^{\circ}$. Dochodzimy do takiego wyniku: $406^{\circ} 15′ = 46^{\circ} 15′$.