Objętości i pola

Najpierw bardzo krótko o teorii, gdyby ktoś przypadkiem nie wiedział. Obwód figury to suma długości wszystkich jej boków, podaje się go w metrach i jednostkach od nich pochodnych. Obwód oznaczamy literami Ob (obwód koła literą L). Pole figury to wielkość powierzchni, którą figura zajmuje, liczy się je w metrach kwadratowych, a matematycznie metr kwadratowy zapisuje się za pomocą dwójki w indeksie górnym: m². Pole oznaczamy literą P. Objętość to przestrzeń, którą zajmuje bryła, mówiąc prosto: ile wody możesz do niej nalać. Objętość liczy się w metrach sześciennych i jednostkach od nich pochodnych, a miary przestrzenne zapisuje się za pomocą trójki w indeksie górnym: m³. Objętość zwykle oznacza się literą V. Pole i objętość możemy wyrazić też w innych (w życiu codziennym chyba częściej używanych) jednostkach, takich jak ar albo hektar dla pola i litr dla objętości. Pole czy objętość można ogólnie obliczyć za pomocą całek.

Kwadrat i prostokąt

Obie figury są dwuwymiarowe, więc znajdziemy tu tylko obwód i pole. W przypadku kwadratu wszystko jest najprostsze, bo kwadrat już z definicji ma wszystkie boki równej długości. Jeżeli więc liczymy obwód kwadratu, wystarczy wziąć jeden bok kwadratu i pomnożyć go przez cztery (liczbę boków): Ob=4a. Obwód prostokąta jest tylko odrobinę trudniejszy. Prostokąt ma zawsze dwie pary boków równej długości, więc nasuwają się dwie drogi: albo po prostu dodać wszystkie boki, albo wziąć długości dwóch różnych boków, pomnożyć je przez dwa i dodać: Ob=2a+2b.

Pole kwadratu nie jest ani trochę trudniejsze niż jego obwód. Bierzesz jeden jego bok i mnożysz przez drugi bok. Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki równej długości, powstaje wzór: P = a·a = a². Prostokąt działa dokładnie tak samo jak kwadrat, z tą tylko różnicą, że prostokąt nie ma wszystkich boków równej długości, dlatego musisz pomnożyć dwa różne, prostopadłe do siebie boki: P=a·b.

Równoległobok

Równoległobok to figura podobna do prostokąta, ale ma dwa przeciwległe boki pochylone, zobacz rysunek pod tym akapitem. Obwód równoległoboku jest prosty i w zasadzie taki sam jak w przypadku prostokąta: Ob=2a+2b, natomiast pole jest już trochę ciekawsze. Żeby obliczyć pole równoległoboku, musimy zrobić z niego prostokąt, inaczej się nie da. A jak zrobić z niego prostokąt, pokazuje poniższy rysunek:

Najpierw odetniemy wystającą część równoległoboku (zamalowaną) i przyłożymy ją z drugiej strony równoległoboku, dzięki czemu powstanie prostokąt:

Dopiero teraz możemy łatwo obliczyć pole równoległoboku, wzór będzie taki sam jak w przypadku prostokąta. Przekształcanie równoległoboku na rysunku nie jest jednak wygodne, dlatego używa się prostego wzoru, który z tego przekształcenia wynika. Bok a będzie bowiem taki sam zarówno w prostokącie, jak i w równoległoboku, różni się tylko drugi bok. W równoległoboku zamiast boku b użyjemy więc wysokości równoległoboku, która jest równa bokowi b w otrzymanym prostokącie. Przejrzyście pokazuje to poniższy rysunek (mnożyć będziemy boki zaznaczone na czerwono):

Wzór wygląda tak: P=h_a·a, gdzie h_a to wysokość opuszczona na bok a.

Trapez

Obwód jest jasny, dodamy do siebie wszystkie boki. Pole trapezu to już twardszy orzech do zgryzienia. Teoretycznie moglibyśmy postępować tak samo jak w przypadku równoległoboku, tylko nie wiemy, czy wziąć ten dłuższy (AB), czy ten krótszy (CD) bok.

Dlatego użyjemy sztuczki – obliczymy średnią długość tych dwóch równoległych boków i będziemy liczyć z nią. Dodamy więc długości boków AB i CD, podzielimy przez dwa, a dalej liczymy tak samo jak w przypadku równoległoboku – pomnożymy to jeszcze przez wysokość i mamy pole. P=(a+c)/2 · h_a.

Trójkąt

Trójkąt jest figurą dwuwymiarową i jako taki ma obwód i pole, nie może mieć i nie ma objętości. Obwód trójkąta obliczymy, dodając wszystkie jego boki. Ogólny wzór wyglądałby więc tak: Ob=a+b+c. Oczywiście możemy znaleźć przypadki szczególne, na przykład jest jasne, że trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, więc wystarczy znać długość jednego boku i pomnożyć ją przez trzy. Wtedy wzór wyglądałby tak: Ob'=3a.

Do pola trójkąta będziemy potrzebować jednej małej przeróbki. Żeby obliczyć pole trójkąta, musimy zrobić z niego równoległobok (podobnie jak z równoległoboku robiliśmy prostokąt). Jak z trójkąta zrobić równoległobok, znowu pokazuje poniższy obrazek:

Z tego rysunku powinno już być jasne, jak obliczyć pole trójkąta – postępujesz tak samo, jakbyś liczył pole równoległoboku, tylko wynik dzielisz przez dwa: P=(h_a·a)/2

Koło

Koło jest szczególną figurą, bo ani jego obwodu, ani pola nie da się obliczyć. Przynajmniej nie z absolutnie dokładną wartością. Cokolwiek chcemy z kołem liczyć, chyba nigdy nie obejdziemy się bez liczby pi – π. Dokładnej wartości π nie znamy, jest to liczba niewymierna, ale jej przybliżona wartość, z którą zwykle się liczy (jeśli nie masz jej zapisanej w kalkulatorze), to 3,14.

Przejdźmy teraz do wzorów. Już dawni myśliciele badali, jak obliczyć obwód koła, a ściślej okręgu (okrąg to tylko sama linia, krzywa, okrąg nie ma wnętrza, a więc nie ma też pola, natomiast koło ma pole, bo zalicza się do niego także wnętrze okręgu). Okazało się, że stosunek średnicy koła (którą łatwo zmierzyć) do obwodu koła jest zawsze taki sam, a z czasem obliczono też, ile razy obwód koła jest większy od jego średnicy. I proszę – jest to właśnie pi razy. Obwód koła obliczymy więc jako L=π·d=2·π·r (częściej podaje się ten drugi, bardziej złożony wzór, bo zwykle znamy raczej promień niż średnicę), gdzie d jest średnicą, a r promieniem koła.

Pole koła to P=π·r², nie wiem, co więcej mógłbym tu dodać :-).

Sześcian i prostopadłościan

To pierwsze bryły przestrzenne, więc będziemy u nich wyznaczać pole powierzchni i objętość. Ponieważ sześcian ma sześć ścian, a wszystkie ściany są kwadratami, postępowanie jest jasne: obliczysz pole jednej ściany i pomnożysz je przez sześć. P=6a². W przypadku prostopadłościanu trwa to dłużej, bo ma on kilka różnych ścian. W zasadzie wystarczy obliczyć pola trzech różnych ścian, dodać je i pomnożyć przez dwa, a masz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: P=(a·b + b·c + a·c)·2.

Objętość sześcianu liczy się co do joty tak samo jak pole kwadratu, z tą drobną różnicą, że nie możemy zapomnieć, że jesteśmy w przestrzeni. Krótko mówiąc, wystarczy wziąć długość krawędzi i podnieść ją do trzeciej potęgi: V=a³. W przypadku prostopadłościanu jest podobnie, tylko trzy krawędzie musimy mnożyć osobno, bo mają różne długości: V=a·b·c.

Kula

Pole powierzchni kuli (czyli sfery) oblicza się ze wzoru P=4·π·r², a objętość kuli to V=4/3·π·r³. Jeśli chcesz poznać dość złożone wyprowadzenie wzoru na objętość kuli, poszukaj hasła „zasada Cavalieriego”.

Walec

Pole powierzchni całkowitej walca obliczymy jako sumę pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej. Podstawa jest zwykłym kołem, więc pole jednej podstawy będzie równe polu koła, czyli pole jednej podstawy obliczymy tak:

$$P_p=\pi\cdot r^2$$

Powierzchnia boczna walca to nic innego jak „zwinięty” prostokąt, w którym długość jednego boku jest równa wysokości walca (oznaczymy ją h), a drugi jest równy obwodowi okręgu podstawy. Pole powierzchni bocznej jest więc równe:

$$P_s=h\cdot2\pi r$$

Pole powierzchni całkowitej walca jest więc równe:

$$P=2\cdot P_p+P_s=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Objętość walca jest prostsza, to wysokość pomnożona przez pole podstawy. Pole podstawy obliczyliśmy już w poprzednim kroku. Wynik:

$$V=h\cdot\pi r^2$$

Ostrosłup i stożek

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa liczy się ogólnie jako sumę pola podstawy i pól wszystkich ścian bocznych. Ogólnego wzoru na to właściwie nie ma. Objętość ostrosłupa ma coś wspólnego z obliczaniem pola trójkąta – bierzesz pole podstawy i mnożysz je przez wysokość ostrosłupa. Wynik następnie dzielisz przez trzy i masz objętość ostrosłupa. V=(P_p · v)/3, gdzie P_p jest polem podstawy.

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe sumie pola podstawy i pola powierzchni bocznej. Pole podstawy jest jasne, to zwykłe koło, czyli P=π·r². Pole powierzchni bocznej jest trochę trudniejsze, musisz sobie wyobrazić, że tę powierzchnię „rozwiniesz” na stole i powstanie ci wycinek koła, którego pole jest równe: P=π·r·s, gdzie s jest tworzącą stożka, czyli promieniem tego wycinka (odległością wierzchołka stożka od brzegu podstawy, w zasadzie to coś podobnego jak krawędź boczna ostrosłupa). Objętość stożka to V=(π · r² · h)/3, gdzie h jest wysokością stożka.

Przykład na pola

Oblicz pole poniższej figury (przyjmij, że jednostki na osiach są w metrach):

Na pierwszy rzut oka widać, że ta figura to jakiś ogólny wielokąt, do którego jako całości nie możemy zastosować żadnego wzoru. Musimy go więc podzielić na mniejsze części, które już umiemy obliczyć. Najwygodniej będzie zrobić z dolnej części trójkąt, a z górnej trapez. Podział pokazuje poniższy rysunek:

Teraz obliczymy pole trójkąta ABE ze wzoru P=(a · h_a)/2. Bokiem a będzie w tym przypadku bok AE, a wysokością opuszczoną na ten bok będzie bok EB. Widzimy, że |AE|=3 m i |EB|=1 m. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy: P=(3 · 1)/2=1,5 m².

W drugim kroku obliczymy pole trapezu ze wzoru P=(a+c)/2 · h_a. Bokiem a będzie w naszym przypadku bok AE, a bokiem c bok DC. Wysokość znowu łatwo odczytamy z rysunku, jest to długość odcinka EC. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy: P=(3+2)/2 · 2=5 m².

Dwa poprzednie wyniki częściowe po prostu dodamy i mamy pole całej figury. P=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Oblicz pole poniższej figury (przyjmij, że jednostki na osiach są w metrach):

Pewnie znowu na pierwszy rzut oka widać, że jeden wzór nam nie wystarczy i że będziemy musieli figurę jakoś przekształcić. Policzymy to tak: obliczymy pole tego „kwadratu”, dodamy do niego trzy czwarte pola koła i odejmiemy ten mały trójkąt na dole po lewej:

Pole kwadratu obliczymy łatwo: P₁ = 2 · 2 = 4 m². W drugim kroku obliczymy pole koła. Znowu tylko podstawimy do wzoru i obliczymy P₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Zostaje już tylko obliczyć pole trójkąta DEI i odjąć je od pola kwadratu. Bok EI i wysokość na niego DI mają obie długość 1 m, więc pole trójkąta będzie równe P₃ = ½.

W ostatnim kroku dodamy i odejmiemy wyniki częściowe: P = P₁ + P₂ − P₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².