Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
Kapitoly: Trójkąt, Wysokość trójkąta, Środkowa trójkąta, Okrąg opisany i wpisany, Trójkąt prostokątny, Jak narysować trójkąt, Pole trójkąta, Twierdzenie Pitagorasa
Na każdym trójkącie można opisać okrąg i w każdy trójkąt można wpisać okrąg. Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta, a okrąg wpisany jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta.
Okrąg opisany na trójkącie
Okrąg opisany to okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Taki okrąg zawsze istnieje i jest tylko jeden. Możemy więc powiedzieć, że przez każde trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, przechodzi dokładnie jeden okrąg.
Żeby narysować okrąg opisany na trójkącie, potrzebujemy pojęcia symetralnej boku. Symetralna boku c to prosta, która jest prostopadła do boku c i jednocześnie przechodzi przez środek boku c, czyli punkt Sc. Jak znaleźć środek boku, opisaliśmy przy konstrukcji środkowych. Kiedy mamy już środek boku, możemy przez ten punkt poprowadzić prostą prostopadłą i w ten sposób otrzymać symetralną boku.
Każdy trójkąt ma trzy boki, więc ma też trzy symetralne boków. Te symetralne przetną się w jednym punkcie, który zwykle oznaczamy S. Ten punkt jest środkiem okręgu opisanego. Postępujemy więc tak. Na początku mamy dany jakiś trójkąt i chcemy narysować okrąg opisany na tym trójkącie:
Najpierw narysujemy symetralne wszystkich trzech boków. To znaczy, że znajdziemy środki wszystkich trzech boków, a potem przez każdy środek poprowadzimy prostą prostopadłą.
Teraz zostaje już tylko narysować okrąg. Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki, więc jego promień znajdziemy łatwo. Jest to odległość środka S od dowolnego wierzchołka.
Okrąg wpisany w trójkąt
Okrąg jest wpisany w trójkąt, jeśli jest styczny do wszystkich trzech boków, czyli ma z każdym bokiem dokładnie jeden punkt wspólny. Żeby znaleźć środek okręgu wpisanego, potrzebujemy pojęcia dwusiecznej kąta, które wyjaśniamy w osobnym artykule. Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia wszystkich dwusiecznych kątów. Na początku mamy więc zwykły trójkąt. Rysujemy dwusieczne kątów:
Punkt przecięcia S to środek okręgu wpisanego. Musimy jeszcze wyznaczyć promień. Do dowolnego boku poprowadzimy prostą prostopadłą, która będzie przechodzić właśnie przez punkt S.
Długość odcinka SPc jest równa promieniowi okręgu wpisanego. Teraz zostaje już tylko narysować okrąg:
