Jak narysować trójkąt

Trójkąt to wielokąt, który ma dokładnie trzy boki. Boki oznaczamy małymi literami, zwykle a, b, c. Trójkąt ma też trzy wierzchołki, które oznaczamy wielkimi literami, zwykle A, B, C. Bok a odpowiada wtedy odcinkowi BC, bok b odcinkowi AC, a bok c odcinkowi AB. Bok a leży zawsze naprzeciw wierzchołka A, podobnie jest z pozostałymi bokami.

Znamy wszystkie trzy boki

Jeśli znamy długości wszystkich trzech boków, narysowanie trójkąta to całkiem prosta sprawa. Wybierzemy jeden z boków, na przykład AB, i narysujemy go jak zwykły odcinek. Potem musimy ustalić, gdzie leży trzeci punkt. Robi się to prosto: bierzemy cyrkiel, wbijamy go w punkt B i zakreślamy okrąg o promieniu równym długości boku BC, na przykład pięciu centymetrów. W ten sposób dowiemy się, gdzie mógłby leżeć punkt C, żeby był oddalony od punktu B dokładnie o pięć centymetrów. Potem to samo robimy z bokiem AC i punktem A. Mamy teraz dwa okręgi, a ich punkt przecięcia wyznacza punkt, który jest oddalony od wierzchołka A o zadaną liczbę centymetrów i od punktu B również.

Znamy dwa boki i wysokość

Każdy bok trójkąta ma swoją wysokość, którą definiujemy jako odcinek prostopadły poprowadzony z przeciwległego wierzchołka do danego boku. Gdyby ten odcinek nie przecinał bezpośrednio boku, musimy bok przedłużyć aż do miejsca, w którym przetnie się z tą prostopadłą. Podstawową własnością wysokości jest więc to, że jest prostopadła do boku, do którego należy. Wykorzystuje się to często w zadaniach obliczeniowych, bo możemy wtedy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wysokość opuszczoną na bok c oznaczamy tu małą literą h, a w dolnym indeksie podajemy oznaczenie boku, do którego wysokość należy. W naszym przypadku jest to więc h_c. Spodek wysokości (punkt przecięcia boku z wysokością) oznacza się podobnie, tylko zamiast małego h piszemy wielkie P: P_c.

Wysokość poprowadziliśmy z wierzchołka C. Drugi punkt leży na przeciwległym boku AB (czyli na boku c), a odcinek CP_c jest prostopadły do boku c. Punkt P_c nazywamy spodkiem wysokości, a bok c podstawą. Spodek oznaczamy zwykle literą P z dolnym indeksem, w którym jest wierzchołek, z którego wysokość wychodzi. W tym przypadku jest to wierzchołek C.

Wysokość rysuje się całkiem łatwo: bierzesz linijkę i prowadzisz prostą prostopadłą do boku c tak, żeby przechodziła właśnie przez punkt C. To wszystko.

Wysokość możemy poprowadzić z każdego wierzchołka trójkąta. Wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum. Ortocentrum może leżeć wewnątrz trójkąta, ale nie musi. W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży wewnątrz trójkąta, w rozwartokątnym na zewnątrz, a w prostokątnym w wierzchołku kąta prostego.

Znamy dwa boki i środkową

Oprócz wysokości każdy trójkąt ma jeszcze trzy środkowe. Środkowa to odcinek, który łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Wszystkie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka — część środkowej przy wierzchołku jest dwa razy dłuższa niż część przy boku. Środkowe oznaczamy małą literą t z dolnym indeksem boku, do którego należą. Środek ciężkości oznacza się zwykle jedną wielką literą T.

Jeśli znasz dwa boki i środkową poprowadzoną do jednego z tych dwóch boków, narysujesz trójkąt bardzo łatwo. Znowu zaczniesz od narysowania boku AB, a potem ustalisz, gdzie leży punkt C: narysujesz dwa okręgi, pierwszy o środku w punkcie B (albo A, jeśli znasz długość AC), a drugi o środku w środku boku AB. Punkt, w którym okręgi się przetną, to szukany punkt C. Postępujesz tak samo jak przy konstrukcji z trzech boków, tylko zamiast trójkąta ABC rysujesz najpierw trójkąt S_cBC, z którego wyznaczysz szukany wierzchołek C.

Znamy dwa boki i inną środkową

Najpierw przyjrzyj się szkicowi, jak to mniej więcej powinno wyglądać:

Elementy zaznaczone na czerwono znamy i na ich podstawie mamy narysować cały trójkąt. Postępujemy tak — uzupełnimy ten trójkąt do czworokąta, a na podstawie czworokąta dorysujemy resztę. Jasno wyjaśnia to poniższy rysunek (przypominam, że długość BD jest równa dwukrotności długości t_b).

Ten czworokąt narysujemy łatwo. Najpierw narysujemy trójkąt ABD. Długość boku AB znamy, długość boku BD wynosi 2t_b, a długość AD jest taka sama jak długość BC. Punkt C znajdziemy albo tak, że wyznaczymy punkt T_b, czyli środek odcinka BD, a potem narysujemy półprostą AT_b, przy czym długość AC to 2AT_b. Druga możliwość to narysować prostą równoległą do boku AB; punkt C będzie leżał na tej prostej i będzie oddalony od punktu D o |AB|.