Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt wewnętrzny prosty, czyli o mierze 90 stopni. Ten trójkąt ma kilka ciekawych własności, o których będzie mowa w tym artykule.

Podstawowy opis

Trójkąt prostokątny został już częściowo opisany w głównym artykule o trójkątach. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt wewnętrzny o mierze 90 stopni. Oba pozostałe kąty wewnętrzne muszą mieć miarę mniejszą niż 90 stopni, bo inaczej suma kątów wewnętrznych nie byłaby równa 180 stopni. Co więcej, suma tych dwóch pozostałych kątów wynosi dokładnie 90 stopni.

Trójkąt prostokątny ma oczywiście trzy boki. Dwa z nich nazywamy przyprostokątnymi (czerwone boki), to te krótsze boki, a trzeci bok nazywamy przeciwprostokątną (niebieski bok) — to najdłuższy bok. Przeciwprostokątna leży zawsze naprzeciw wierzchołka, przy którym jest kąt prosty.

Twierdzenie Pitagorasa

Chyba najsłynniejsze twierdzenie matematyczne w ogóle, twierdzenie Pitagorasa, zachodzi właśnie w trójkącie prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa dotyczy długości boków trójkąta. Mówi ono, że „pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych”. Matematycznie zapisane:

$$c^2=a^2+b^2$$

Twierdzenie Pitagorasa na rysunku: Twierdzeniu poświęcony jest osobny artykuł.

Pole trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym bardzo łatwo obliczyć pole, bo wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi. Wyobraź sobie trójkąt prostokątny z pierwszego rysunku. Jak obliczylibyśmy jego pole, nie znając żadnych wysokości? Trójkąt możemy uzupełnić tak, żeby powstał prostokąt. Dwoma bokami prostokąta będą przyprostokątne trójkąta, a pozostałe dwa boki dorysujemy tak, żeby rzeczywiście powstał prostokąt: Pole prostokąta już umiemy obliczyć, jest to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków, w naszym przypadku iloczyn czerwonych boków AC i AB. W ten sposób otrzymamy pole prostokąta. Przeciwprostokątna BC jest jednak przekątną prostokąta, która dzieli ten prostokąt na dwie równe części, więc jeśli pole prostokąta podzielimy przez dwa, otrzymamy pole trójkąta prostokątnego. Wzór na pole P wygląda więc tak:

$$P_\triangle=\frac{b\cdot c}{2},$$

gdzie b i c to długości przyprostokątnych.

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus

W trójkącie prostokątnym można określić podstawowe funkcje trygonometryczne i związki między nimi. Funkcje trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus, tangens i cotangens, wyrażają stosunek długości poszczególnych boków w trójkącie prostokątnym. Weźmy jeszcze raz do pomocy pierwszy trójkąt, tym razem z zaznaczonymi kątami.

Jeśli chcemy znaleźć stosunek długości dwóch boków, bierzemy obie długości i dzielimy je w podanej kolejności. Na przykład stosunek długości boków b:c (czytamy „b do c”) otrzymamy, dzieląc 3/5 (bok b ma długość 3, bok c długość 5).

Funkcja sinus wiąże stosunek dwóch boków z jednym kątem. Dla naszego rysunku zachodzi: jeśli weźmiemy stosunek boków b:a, otrzymamy wartość funkcji sinus dla kąta β. Cosinus działa podobnie, tylko dla stosunku c:a i tego samego kąta β. Zachodzi więc:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ \cos(\beta)&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

W trójkącie prostokątnym sinus i cosinus liczymy zawsze tylko dla kątów mniejszych niż 90 stopni. W tym przypadku dla kątów β i γ. W tym zakresie funkcje sinus i cosinus dają zawsze liczbę z przedziału (0, 1). Dzięki temu możesz zapamiętać regułę, że zawsze dzielisz krótszy bok przez dłuższy — żeby otrzymać liczbę właśnie z przedziału (0, 1).

Obie funkcje korzystają przy tym z jednej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej, nigdy z dwóch przyprostokątnych naraz. Ponieważ zawsze dzielisz krótszy bok przez dłuższy, przeciwprostokątna będzie zawsze w mianowniku ułamka. Kiedy spojrzysz na wzory nad tym akapitem, w mianowniku jest zawsze a, czyli przeciwprostokątna trójkąta.

Ostatnia reguła jest taka, że sinus korzysta z przyprostokątnej przeciwległej, a cosinus z przyprostokątnej przyległej. Co to znaczy? Jeśli mamy kąt β, to przyprostokątna przyległa to ta przyprostokątna, która wychodzi z punktu B, czyli przyprostokątna c. Przeciwległa to druga przyprostokątna, czyli przyprostokątna b. Dlatego we wzorze na sinus jest bok b, a we wzorze na cosinus bok c.

Podsumowanie: sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, a cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Jak możemy to wykorzystać? Jeśli znamy kąty w trójkącie i długość przeciwprostokątnej albo przyprostokątnej, możemy obliczyć długości pozostałych boków. Przykład:

W poprzednim trójkącie zachodzi:

$$|AC|=b=3,\quad|AB|=c=5,\quad\beta=30{,}96^\circ$$

Jaka jest długość boku a? Wiemy, że zachodzi:

$$\sin(\beta)=\frac{b}{a}$$

Wartość sinusa znamy, długość boku b też znamy, szukamy długości boku a. Wyznaczymy a za pomocą przekształceń równoważnych:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ a\cdot\sin(\beta)&=&b\\ a&=&\frac{b}{\sin(\beta)} \end{eqnarray}$$

(Najpierw pomnożyliśmy równanie przez a, a potem podzieliliśmy je przez sinus.) Po prawej stronie mamy już same znane wartości, więc podstawiamy. Wartość sinusa obliczymy na kalkulatorze.

$$a=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{3}{0{,}514}=5{,}83.$$

Bok a ma długość 5,83. Jeśli będziesz liczyć sinus na kalkulatorze, uważaj, żeby mieć włączony tryb stopni. Często problem polega na tym, że liczysz w radianach, a to inna miara kąta. Zachodzi jednak wzór na przeliczenie:

$$rad=\frac{\pi}{180}\cdot deg,$$

gdzie deg to twoja wartość w stopniach.

Funkcje trygonometryczne tangens i cotangens

W trójkącie prostokątnym łatwo można użyć także tych dwóch funkcji (w polskiej szkole zapisuje się je jako tg i ctg). Znowu pracujemy zawsze z kątami mniejszymi niż 90 stopni. W odróżnieniu od sinusa i cosinusa te funkcje nie korzystają jednak z przeciwprostokątnej trójkąta, tylko z samych przyprostokątnych. Tangens kąta jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej, a cotangens stosunkowi przyprostokątnej przyległej do przeciwległej.

Dla poprzedniego trójkąta zachodzi więc:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ \operatorname{ctg}(\beta)&=&\frac{c}{b} \end{eqnarray}$$

Spróbujmy w poprzednim trójkącie obliczyć długość boku AC (boku b) za pomocą kąta β. Jego miarę znamy z poprzedniego przykładu. Wiemy, że zachodzi:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{b}{c}$$

Wyznaczamy bok b:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ c\cdot\operatorname{tg}(\beta)&=&b\\ b&=&c\cdot\operatorname{tg}(\beta) \end{eqnarray}$$

(Równanie tylko pomnożyliśmy przez c i zamieniliśmy strony.) Teraz znamy już wszystko, czego potrzebujemy do obliczenia długości boku b. Podstawiamy:

$$b=c\cdot\operatorname{tg}(\beta)=5\cdot\operatorname{tg}(30{,}96)=5\cdot0{,}6=3$$

Już z rysunku widać, że wyszedł nam poprawny wynik. Tylko znowu uwaga: we wzorze w tangensie jest wartość w stopniach, a kalkulator może wymagać kąta w radianach.

Dla ilustracji możemy ten sam bok obliczyć za pomocą cotangensa:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{ctg}(\beta)&=&\frac{c}{b}\\ b\cdot\operatorname{ctg}(\beta)&=&c\\ b&=&\frac{c}{\operatorname{ctg}(\beta)} \end{eqnarray}$$

Podstawiamy wartości:

$$b=\frac{5}{\operatorname{ctg}(30{,}96)}=\frac{5}{1{,}666\ldots}=3$$

Znowu wyszedł nam poprawny wynik.