Pierwiastki

Pierwiastek to częściowa funkcja odwrotna do potęgi. Najczęściej pracujemy z pierwiastkiem kwadratowym, czyli taką liczbą, która pomnożona przez samą siebie daje liczbę pierwiastkowaną.

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek oznaczamy znakiem $\sqrt{}$. Żeby nie trzeba było pisać liczby podpierwiastkowej w nawiasie, mniej więcej tak: $\sqrt{}$(25), nad całym wyrażeniem, które chcemy spierwiastkować, rysuje się poziomą kreskę, o tak: $\sqrt{25}$.

Na początek zajmiemy się wyłącznie pierwiastkiem kwadratowym z liczby rzeczywistej. Zdefiniowalibyśmy go tak:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$$

Jeśli pomnożysz pierwiastek z liczby a przez pierwiastek z liczby a, otrzymasz liczbę a. Dla liczby 9 pierwiastek wynosi więc 3, bo 3 · 3 = 9.

Poprzednie wyrażenie możemy zapisać także tak:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

To tylko inny zapis tego samego mnożenia, tym razem za pomocą potęgi.

Ważne jest to, że ta równość zachodzi tylko dla tych a, które należą do dziedziny pierwiastka. Liczby ujemnej nie da się bowiem spierwiastkować. Możemy wyciągnąć pierwiastek z dowolnej liczby dodatniej, możemy wyciągnąć pierwiastek z zera, ale z liczby ujemnej nie potrafimy? Dlaczego to nie działa?

Załóżmy, że chcemy obliczyć pierwiastek z −25. Mamy w zasadzie dwie możliwości, jaką liczbę wybrać: dodatnią albo ujemną. Jeśli wybierzemy dodatnią, mamy 5 · 5 = 25. Wprawdzie wyszło 25, ale nam chodzi o −25. Spróbujmy więc −5; tyle że po pomnożeniu znowu mamy 25. Krótko mówiąc, gdy pomnożysz dwie liczby ujemne, dostaniesz liczbę dodatnią. Tak samo, gdy mnożysz dwie liczby dodatnie. Żeby otrzymać −25, musiałbyś pomnożyć −5 · 5, a to nie wchodzi w grę – mnożysz dwie różne liczby, choć różnią się tylko znakiem. Dlatego pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej nie da się obliczyć.

Pierwiastki wyższych stopni

Podobnie jak możemy podnieść wyrażenie do kwadratu, do trzeciej czy do czwartej potęgi, możemy mieć też pierwiastek trzeciego i czwartego stopnia, a w końcu pierwiastek n-tego stopnia z liczby rzeczywistej. Stopień pierwiastka zapisuje się zwykle nad „dzióbkiem” znaku pierwiastka, o tak:

$$\sqrt[5]{32}$$

Ten zapis oznacza pierwiastek piątego stopnia z liczby trzydzieści dwa. Pierwiastek n-tego stopnia zdefiniujemy za pomocą n-tej potęgi w ten sposób:

$$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a;\qquad n\in\mathbb{N}, a,b\ge0$$

Jeśli za n podstawimy dwa, otrzymamy pierwiastek kwadratowy dokładnie taki, jak zdefiniowaliśmy go przed chwilą. W skrócie moglibyśmy go zdefiniować także tak:

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

Przyjęło się, że przy pierwiastku kwadratowym nie trzeba pisać dwójki, więc te zapisy są równoważne:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Na przykład dla pierwiastka czwartego stopnia zachodziłoby:

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}=a$$

I jakiś konkretny przykład:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

I na odwrót: 4 · 4 · 4 = 64.

Pierwiastek z liczby ujemnej

Wiemy już, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje, bo a², gdzie a jest liczbą rzeczywistą, nigdy nie będzie ujemne. Przy pierwiastkach wyższych stopni nie mnożymy jednak tylko dwa razy, więc mogą się zdarzyć przypadki, w których pierwiastek n-tego stopnia z liczby ujemnej istnieje. Jak to więc jest?

Przeszkadzało nam, że gdy pomnożymy przez siebie dwie liczby ujemne, otrzymamy liczbę dodatnią. Żeby wyszło −25, potrzebowaliśmy iloczynu −5 · 5. Ale co się stanie, gdy pomnożymy trzy liczby ujemne? Po pomnożeniu pierwszych dwóch liczb ujemnych mamy liczbę dodatnią. Jednak po pomnożeniu jej przez ostatnią liczbę ujemną znowu mamy liczbę ujemną. Gdybyśmy pomnożyli jeszcze raz (w sumie cztery razy), wrócilibyśmy do liczb dodatnich.

Wniosek jest taki: jeśli mnożymy liczbę ujemną n razy, to gdy n jest parzyste, iloczyn jest dodatni, a gdy jest nieparzyste, iloczyn jest ujemny. Wynika z tego, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby ujemnej istnieje, gdy n jest nieparzyste. Przykład:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Zamiana na potęgę

Pierwiastki łatwo zamienić na potęgi i często się to robi, bo z potęgami pracuje się wygodniej. Zachodzi następująca zależność:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Pierwiastek n-tego stopnia z a to to samo, co a podniesione do potęgi 1/n. Przyda ci się to także wtedy, gdy musisz gdzieś wpisać pierwiastek wyższego stopnia niż drugi. Często nie da się tego zrobić bezpośrednio, ale do wykładnika można wpisać ułamek. Jeśli chcesz narysować wykres pierwiastka czwartego stopnia, wpisz do programu do rysowania wykresów funkcję

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Najczęściej zamienia się pierwiastek kwadratowy:

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

Wzory na pierwiastki

Ponieważ pierwiastek łatwo zamienić na potęgę, wyrażenia z pierwiastkami dziedziczą wzory dla potęg. Zachodzą więc następujące zależności:

$$\Large \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\qquad a\ge0, b>0$$

$$\Large \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\Large \sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}\qquad a>0$$

Do tego zachodzą te podstawowe zależności:

$$\Large \sqrt[n]{0}=0$$

$$\Large \sqrt[n]{1}=1$$

$$\Large \sqrt[1]{a}=a$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to technika, której używa się do upraszczania pierwiastków. Korzysta z jednego z poprzednich wzorów:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

Niektóre wyrażenia pod pierwiastkiem możemy bowiem rozłożyć na iloczyn, potem rozpisać na dwa pierwiastki i w końcu jeden z tych pierwiastków obliczyć. Typowy przykład może wyglądać tak:

$$\sqrt{4x}$$

To wyrażenie możemy zgodnie z poprzednim wzorem przepisać tak:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=$$

A teraz możemy spierwiastkować czwórkę:

$$=2\cdot\sqrt{x}$$

W ten sam sposób możemy przepisać także zwykłą liczbę, jeśli chcemy zachować dokładną postać. Przykład:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$