Nierówności kwadratowe

Nierówność kwadratową możemy zapisać w postaci ogólnej tak: ax² + bx + c > 0 albo ax² + bx + c < 0, gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a ≠ 0. Zamiast „większe” i „mniejsze” możemy oczywiście użyć też „większe lub równe” i „mniejsze lub równe”.

Dodatni współczynnik a

Taką nierówność rozwiązuje się podobnie jak zwykłe równanie kwadratowe: najpierw obliczamy wyróżnik, a od wyniku zależy, co robimy dalej. Jeśli wyróżnik jest dodatni, odpowiadające jej równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste. Rozwiązanie równania to punkt na osi x, w którym wykres funkcji ax² + bx + c przecina oś x. Te dwa punkty przecięcia dzielą więc oś x na trzy przedziały.

Spróbujmy rozwiązać nierówność 2x² − 7x + 3 < 0. Narysujemy wykres funkcji 2x² − 7x + 3, który wygląda tak:

Widzimy, że wykres przecina oś x w dwóch punktach: $x_1 = \frac12$ i x₂ = 3. Gdybyśmy rozwiązali zwykłe równanie kwadratowe, dostalibyśmy te same rozwiązania, bo wyróżnik tego równania wynosi

$$ D = b^2-4ac = (-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 $$

Rozwiązania obliczylibyśmy potem tak:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{7-5}{4} = \frac12\\ x_2 &=& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{7+5}{4} = 3\\ \end{eqnarray}$$

Te dwa rozwiązania dzielą wykres funkcji 2x² − 7x + 3 na trzy przedziały.

• $\left(-\infty, \frac12\right)$ w tym przedziale wartości są dodatnie (wykres jest „nad” osią x, niebieska część wykresu)
• $\left(\frac12, 3\right)$ w tym przedziale wartości są ujemne (wykres jest „pod” osią x, czerwona część wykresu)
• (3, ∞) w tym przedziale wartości są znowu dodatnie, pozostała niebieska część wykresu.

Zauważ, że w przedziałach używamy nawiasów okrągłych, które oznaczają przedział otwarty. To znaczy, że ani liczba 3, ani $\frac12$ nie należą do przedziału $\left(\frac12, 3\right)$. Dzieje się tak dlatego, że w punkcie x = 3 funkcja ma wartość zero, a my chcieliśmy wypisać przedział, w którym wartości są mniejsze od zera.

Teraz znamy już wszystkie informacje potrzebne do tego, żeby wyznaczyć rozwiązanie nierówności 2x² − 7x + 3 < 0. Pytamy, kiedy wartości funkcji 2x² − 7x + 3 są mniejsze od zera. Są mniejsze od zera w przedziale $\left(\frac12, 3\right)$, czerwona część wykresu.

Możemy spróbować rozwiązać jeszcze te nierówności:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: ta nierówność różni się od poprzedniej tym, że jest w niej ≤ zamiast samego <. Wynik będzie taki sam jak w poprzednim przypadku, tylko zamiast przedziału otwartego użyjemy przedziału domkniętego. Rozwiązaniem będzie więc przedział $\left<\frac12, 3\right>$, bo w punktach $\frac12$ i 3 funkcja 2x² − 7x + 3 ma wartość zero, a my teraz szukamy, kiedy ta funkcja jest mniejsza od zera lub równa zeru. Nie zapominaj, w nierówności jest znak ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: rozwiązaniem będą „niebieskie części” wykresu funkcji. Otrzymane przedziały musimy zsumować, bo funkcja jest dodatnia zarówno w przedziale $\left(-\infty, \frac12\right)$, jak i w przedziale (3, ∞). Otrzymany zbiór ma postać $\left(-\infty, \frac12\right) \cup \left(3, \infty\right)$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: znowu zmieniliśmy tylko > na ≥. Rozwiązaniem będzie więc ten sam zbiór, tylko dołączymy do niego elementy $\frac12$ i 3, co zrobimy za pomocą przedziałów domkniętych: $\left(-\infty, \frac12\right> \cup \left<3, \infty\right)$.

Ujemny współczynnik a

Co by się stało, gdybyśmy poprzednią nierówność zmienili na −x² + x + 2 < 0? Główna zmiana zaszła we współczynniku a, który jest teraz równy a = −1. W poprzedniej nierówności mieliśmy 2x², współczynnik przy x² był dodatni, a tutaj jest ujemny. Najlepiej będzie, jeśli spojrzymy na wykres:

Widzimy, że wykres zmienił się przede wszystkim tak, że nie ma już kształtu litery „U”, tylko kształt górki. W postępowaniu nic się jednak nie zmieniło. Znowu powstają trzy przedziały:

• (−∞, −1): wartości są ujemne.
• (−1, 2): wartości są dodatnie.
• (2, ∞): wartości są ujemne.

Rozwiązaniem nierówności −x² + x + 2 < 0 będzie więc suma przedziałów (−∞, −1) ∪ (2, ∞).

Ale ja nie chcę ciągle bazgrać wykresów!

Nie musisz! Wszystkie dotychczasowe rozwiązania opierały się na tym, że narysowaliśmy wykres, odczytaliśmy z niego punkty przecięcia z osią x, a następnie także to, czy w danym przedziale wartości są dodatnie, czy ujemne. Da się to jednak zrobić inaczej.

Jeśli mamy nierówność kwadratową 3x² − 4x + 1 < 0, możemy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe 3x² − 4x + 1 = 0 zwykłymi sposobami. Obliczymy więc wyróżnik:

$$ D = b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=4 $$

Następnie obliczymy rozwiązania równania kwadratowego:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4-2}{6} = \frac13\\ x_2 &=& \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4+2}{6} = 1\\ \end{eqnarray}$$

Wiemy, że wykres przecina oś x w punktach $x_1=\frac13$ i x₂ = 1. Powstają nam trzy przedziały: $\left(-\infty, \frac13\right)$, $\left(\frac13, 1\right)$, (1,∞). Pytanie brzmi, jak sprawdzić, czy funkcja f(x) = 3x² − 4x + 1 ma w danym przedziale wartości dodatnie, czy ujemne.

Sprawdzimy to tak, że do funkcji f(x) = 3x² − 4x + 1 za każdym razem podstawimy jakąś liczbę z danego przedziału. Jeśli wartość funkcji wyjdzie dodatnia, funkcja jest dodatnia w całym przedziale. Tak samo dla wartości ujemnych.

• Wybierzemy dowolną liczbę z przedziału $\left(-\infty, \frac13\right)$, na przykład zero, bo z nim dobrze się liczy. Obliczymy wartość funkcji f dla zera: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Liczba 1 jest dodatnia, więc w tym przedziale są wartości dodatnie.

• Wybierzemy liczbę z przedziału $\left(\frac13, 1\right)$: najlepsza będzie chyba jedna druga:

  $$f(\frac12) = 3\cdot\left(\frac12\right)^2-4\cdot\frac12+1=3\cdot\frac14-2+1=-\frac14$$

  Liczba $-\frac14$ jest ujemna, więc w tym przedziale wszystkie wartości są ujemne.

• W ostatnim przedziale będą takie same wartości jak w pierwszym — dodatnie. Zawsze się to zmienia na przemian: dodatnie — ujemne — dodatnie albo ujemne — dodatnie — ujemne. Ale możemy to spokojnie przeliczyć. Wybierzemy liczbę z przedziału (1,∞), na przykład 10:

  $$ f(10) = 3\cdot10^2-4\cdot10+1=300-40+1=261 $$

  To liczba dodatnia, więc wszystkie wartości w tym przedziale są dodatnie.

Pozostaje dokończyć rozwiązywanie nierówności. Miała postać: 3x² − 4x + 1 < 0. Na podstawie poprzednich informacji wiemy, że funkcja 3x² − 4x + 1 ma wartości ujemne w przedziale $\left(\frac13, 1\right)$. Już tylko dla sprawdzenia możemy spojrzeć na wykres:

Wyróżnik równy zeru

Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego może nam wyjść wyróżnik równy zeru. Wychodzi wtedy, gdy wykres funkcji dotyka osi x w jednym punkcie. Pokażemy to na nierówności 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Wyróżnik jest równy zeru:

$$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0 $$

Wykres wyglądałby tak:

Jak widać, wykres dotyka osi x w jednym punkcie x₁ = −1, a reszta wykresu leży nad osią x, czyli funkcja przyjmuje tam wartości dodatnie. To znaczy, że rozwiązaniem nierówności 3x² + 6x + 3 ≥ 0 jest cały zbiór liczb rzeczywistych, bo jakąkolwiek liczbę rzeczywistą podstawimy za x, wartość będzie zawsze większa od zera lub równa zeru.

Wyróżnik ujemny

Jeśli wyróżnik wyjdzie ujemny, oznacza to, że wykres nigdy nie przecina osi x. Jak to się przejawi w naszych nierównościach? Tak, że wykres leży albo cały nad osią x, albo cały pod osią x. Gdybyśmy poprzednią nierówność zmienili tak: 3x² + 6x + 4 > 0 (zmieniliśmy znak z ≥ na > i liczbę trzy na cztery), to wyróżnik wyszedłby:

$$ D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = -12 $$

a wykres wyglądałby tak:

Wykres leży w całości nad osią x, jakąkolwiek liczbę rzeczywistą podstawimy za x, otrzymana wartość będzie zawsze dodatnia. Rozwiązaniem nierówności jest więc znowu zbiór liczb rzeczywistych.