Równania dwumienne

Równanie dwumienne to równanie algebraiczne.

Definicja

Postać ogólna równania dwumiennego wygląda tak:

$$ax^n+b=0,$$

gdzie a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zakładamy dalej, że a, b≠0 oraz że n jest liczbą naturalną.

Szczególne przypadki równania dwumiennego:

• n = 1: Równanie ma wtedy postać ax + b = 0 i jest to równanie liniowe.
• n = 2: Równanie ma postać ax² + b = 0 i jest to równanie kwadratowe.

Każde równanie dwumienne możemy sprowadzić do postaci unormowanej, dzieląc je przez liczbę a. Równanie będzie miało wtedy postać:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Możemy jeszcze oznaczyć ułamek b/a literą c. Jeśli więc c = b/a, równanie przyjmie postać:

$$x^n+c=0$$

Jak rozwiązać równanie dwumienne

Najpierw sprowadzamy równanie do postaci unormowanej, potem przenosimy c na prawą stronę i dostajemy równanie w postaci

$$x^n=-c$$

Następnie z obu stron równania wyciągamy pierwiastek stopnia n.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Dalej rozwiązujemy to równanie za pomocą wzoru na pierwiastkowanie liczb zespolonych. Wygląda on tak:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$$

przy czym

$$z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$

a cały wzór obowiązuje dla k = 0, 1, …, n − 1.

Przykład: oblicz rozwiązania równania x³ − 4 = 0. Po sprowadzeniu do postaci unormowanej i wyciągnięciu pierwiastka równanie będzie miało postać:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Ponieważ liczba −c = 4 nie ma części urojonej, kąt α jest równy zeru i możemy go we wzorze pominąć. k-te rozwiązanie równania będzie miało postać:

$$x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]$$

Teraz musimy zastosować ten wzór dla k = 0, 1, 2. Dla k = 0 dostaniemy:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}$$

Dla k = 1:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt[3]{4}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$

Dla k = 2:

$$\begin{eqnarray} x_2&=&\sqrt[3]{4}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$

I to wszystko, mamy trzy rozwiązania: x₀, x₁ i x₂.