Równania wykładnicze

Zwykłe równanie staje się wykładnicze, gdy ma zmienną w wykładniku. Ogólnie moglibyśmy zapisać równanie wykładnicze tak: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, gdzie a, b>0. Typowym przykładem równania wykładniczego może być choćby 2^x = 8. Tu dość wyraźnie widać, że wynikiem będzie liczba trzy, bo dwa do trzeciej to osiem. A teraz trochę bardziej matematyczne podejście.

Proste równanie wykładnicze

Kiedy chcemy rozwiązać równanie wykładnicze, bardzo się opłaca sprowadzić je do postaci $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, w której a = b. Jasne jest bowiem, że jeśli podstawy są takie same, potęgi będą równe wtedy, gdy równe są też wykładniki. Rozwiązujemy więc już tylko równanie f(x) = g(x). Poprzedni przykład możemy przekształcić tak: ósemkę zapiszemy jako potęgę dwójki 2^x = 2³ i dostajemy te same podstawy, więc po prostu przyrównujemy oba wykładniki i od razu wychodzi wynik x = 3. Przykład możemy utrudnić na przykład tak: 2^2x = 8, a po przekształceniu znów dostajemy 2^2x = 2³ i rozwiązujemy 2x = 3, wynik to 1,5.

Kolejny prosty przypadek zachodzi wtedy, gdy po jednej stronie równania stoi jedynka. Weźmy taki przykład:

$$5^{3x-2} = 1$$

Wygląda to groźnie, ale jeśli znasz podstawowe zależności między potęgami, wiesz, że jedynkę można dostać tylko na dwa sposoby – albo podstawa wynosi jeden, a jeden do dowolnej potęgi daje znowu jeden, albo wykładnik jest równy zeru – cokolwiek do potęgi zerowej to też jeden. My oczywiście wykorzystamy tę drugą własność i przepiszemy poprzednie równanie tak: 5^{3x − 2} = 5⁰. Teraz mamy równanie w postaci, którą już umiemy rozwiązać (zobacz poprzedni akapit). Wystarczy porównać wykładniki. Tutaj wychodzi równanie 3x − 2 = 0. A to już jest banalne równanie liniowe.

Logarytmowanie równania wykładniczego

Jeśli nie da się sprowadzić równania do postaci z tymi samymi podstawami, możemy spróbować metody logarytmowania. Nasza pani od matematyki zawsze powtarzała: „Dzieciaki, jak nie wiecie, co dalej, to po prostu wszystko zlogarytmujcie!” – i miała rację. Jeśli masz równanie wykładnicze o różnych podstawach, a nie da się ich sprowadzić do tej samej podstawy (albo to się nie opłaca), zlogarytmuj całe równanie. Z wyjściowego równania

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

dostaniemy

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

i zgodnie ze wzorem na działania na logarytmach otrzymujemy

$$f(x)\cdot \log a = g(x)\cdot \log b.$$

Weźmy więc taki przykład

$$2^x\cdot5^{2x}=3^{x-2}$$

Podstawy nie są takie same i nie da się ich przekształcić, dlatego zlogarytmujemy całe równanie:

$$\log(2^x\cdot5^{2x})=\log(3^{x-2})$$

Teraz skorzystamy z twierdzeń o logarytmach i pierwszy nawias „wymnożymy”

$$\log2^x+\log5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Teraz znowu skorzystamy z twierdzeń o logarytmach i „przeniesiemy” wykładnik przed logarytm.

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=(x-2)\log3$$

Wymnażamy prawą stronę równania:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=x\log3-2\log3$$

Wyrażenia z niewiadomą przerzucamy na lewą stronę równania:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5-x\cdot\log3=-2\log3$$

Następnie wyłączamy x przed nawias:

$$x(\log2+2\log5-\log3)=-2\log3$$

Wyznaczamy x:

$$x=\frac{-2\log3}{\log2+2\log5-\log3}$$

To już de facto jest wynik. Możemy jeszcze raz zastosować twierdzenia o logarytmach i z $2\log 5$ zrobić $\log 5^2 =\log 25$, ale to już naprawdę ostatnia rzecz, jaką możemy z wynikiem zrobić.

Podstawienie

Równania wykładnicze możemy rozwiązywać także za pomocą podstawienia. Pokażemy to na przykładzie:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Teraz wprowadzimy nową zmienną: a = 7^x. Wyjściowe równanie przekształcimy tak, że w miejsce 7^x wstawimy a. Powstanie takie (już nie wykładnicze) równanie:

$$a^2+a-6=0.$$

To zwykłe równanie kwadratowe. Jego rozwiązaniami są liczby 2 i −3.

Z tymi rozwiązaniami wracamy teraz do podstawienia a = 7^x, czyli 2 = 7^x. Logarytmujemy:

$$\log2=x\cdot\log 7$$

i wyznaczamy niewiadomą:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Drugiego rozwiązania już podstawiać nie musimy, bo jest ujemne – po podstawieniu wyszedłby nam logarytm z liczby ujemnej, a to niemożliwe. I wynik równania wykładniczego gotowy.

Przykłady

Rozwiąż następujące równanie wykładnicze:

$$2^{3x-4} = 8^{2x + 1}.$$

Na pierwszy rzut oka widać, że podstawy po obu stronach nie są równe. Smutne. Ale na drugi rzut oka na pewno zobaczysz przekształcenie, dzięki któremu te same podstawy dostaniemy. Zamiast ósemki użyjemy po prostu 2³, co jest równe ośmiu. Korzystając ze wzoru na potęgę potęgi, dostajemy:

$$\begin{eqnarray} 2^{3x-4}&=&8^{2x + 1}\\ 2^{3x-4}&=&2^{3\cdot(2x+1)}\\ 2^{3x-4}&=&2^{6x+3} \end{eqnarray}$$

W tym momencie podstawy są już równe i możemy rozwiązać proste równanie liniowe 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{eqnarray} 3x-4&=&6x+3\\ -3x&=&7\\ x&=&-\frac73 \end{eqnarray}$$

Rozwiąż następujące równanie wykładnicze:

$$5^x\cdot 2^x=100^{x-1}.$$

Tu jak zwykle widać, że podstawy nie są takie same. Ale chyba każdy przeczuwa, że da się je jakoś przekształcić. Do lewej strony zastosujemy wzór na mnożenie potęg o tym samym wykładniku, a do prawej strony ten sam wzór co przed chwilą i z 100^{x − 1} zrobimy 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{eqnarray} 5^x\cdot2^x&=&100^{x-1}\\ 10^x&=&10^{2(x-1)}\\ 10^x&=&10^{2x-2} \end{eqnarray}$$

I znowu mamy te same podstawy, więc możemy rozwiązać zwykłe równanie liniowe:

$$\begin{eqnarray} x&=&2x-2\\ -x&=&-2\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Rozwiąż równanie wykładnicze:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Jak zawsze najpierw musimy dojść do tej samej podstawy. Tutaj pomożemy sobie wyłączaniem przed nawias i z wyrażenia po lewej stronie wyłączymy 3^x. Potem dodamy wyrażenie w nawiasie i dostaniemy proste równanie.

$$\begin{eqnarray} 3^x+3^{x+1}&=&108\\ 3^{x}(1+3^1)&=&108\\ 4\cdot3^x&=&108\\ 3^x&=&27 \end{eqnarray}$$

W tej chwili mamy przekształconą lewą stronę i czas zająć się prawą. Dość wyraźnie widać, że chodzi o trzecią potęgę trójki:

$$\begin{eqnarray} 3^x&=&27\\ 3^x&=&3^3 \end{eqnarray}$$

No i został już tylko ostatni krok – podstawy są równe, więc przyrównujemy wykładniki:

$$x=3$$

Rozwiąż następujące równanie wykładnicze:

$$4^{2x}-6\cdot4^{x}+8=0.$$

W tym przypadku spróbujemy z równania wykładniczego zrobić zwykłe równanie kwadratowe. Najłatwiej dojdziemy do niego za pomocą podstawienia 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Teraz mamy już zwykłe równanie kwadratowe, więc liczymy wyróżnik i rozwiązania:

$$\begin{eqnarray} D&=&36-4\cdot8\\ a_{1{,}2}&=&\frac{(6\pm2)}{2}\\ a_1&=&4\\ a_2&=&2 \end{eqnarray}$$

Te cząstkowe wyniki musimy jeszcze wstawić z powrotem do podstawienia. Pierwszy wynik:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&4\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Drugi wynik:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&2\\ 4^x&=&4^{\frac12}\\ x&=&\frac12 \end{eqnarray}$$