Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie z jedną niewiadomą, która jest podniesiona do kwadratu. Jeśli w równaniu niewiadoma występuje w wyższej potędze niż druga, to nie jest to już równanie kwadratowe.

Opis równania kwadratowego

Postać ogólna równania kwadratowego wygląda tak:

$$ax^2+bx+c=0$$

Wartości a, b, c są liczbami rzeczywistymi, przy czym a jest różne od zera. Pozostałe nazwy:

• ax² nazywamy wyrazem kwadratowym,
• bx nazywamy wyrazem liniowym,
• c nazywamy wyrazem wolnym.

Każde równanie kwadratowe da się sprowadzić do postaci ogólnej za pomocą przekształceń równoważnych albo innych przekształceń. Przykładem równania kwadratowego może być takie równanie:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Trudniejsze jest już pytanie, czy równaniem kwadratowym jest również to:

$$(x+1)\cdot(x+2)=7.$$

Nigdzie nie widać x², a po prawej stronie nie ma zera. Z prawą stroną poradzimy sobie łatwo: odejmiemy siódemkę i dostaniemy

$$(x+1)\cdot(x+2)-7=0.$$

Wciąż nie mamy x². Wymnożymy nawiasy i dostaniemy:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

I już jest x². Po zsumowaniu dostajemy wreszcie postać ogólną równania kwadratowego:

$$x^2+3x-5=0.$$

A co z następującym przykładem, czy to jest równanie kwadratowe? Da się je sprowadzić do postaci ogólnej?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Odpowiedź brzmi: nie da się. Jeśli bowiem pomnożymy całe równanie przez x, żeby pozbyć się niewiadomej z mianownika ułamka, dostaniemy:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Teraz mamy już x³, a to w równaniu kwadratowym występować nie może.

Istnieją szczególne rodzaje równań kwadratowych, zależnie od tego, jakie wartości mają współczynniki a, b i c.

Wartości współczynników

W kolejnych rozdziałach absolutnie kluczowe będzie to, żebyś umiał określić poszczególne współczynniki a, b i c. Zacznijmy od jakiegoś prostego przykładu. Określ współczynniki równania 3x² + 4x + 7 = 0. Tu jest to proste: a = 3, b = 4 i c = 7.

A na przykład równanie 3x² − x + 2 = 0? Wartości a i c są jasne, a = 3 i c = 2, ale co z b? Błędem byłoby napisać, że b = 1. Wyobraź sobie, że przed tym x stoi jedynka, o tak: 3x² − 1x + 2 = 0. Teraz chyba lepiej widać, że b = −1.

Kolejny ciekawy przykład: x² − 3 = 0. Tutaj znowu może być kłopot ze współczynnikiem b, pozostałe są oczywiste: a = 1 i c = −3. Ile wynosi współczynnik b? Wyraz liniowy w tym równaniu w ogóle nie występuje, to tak, jakbyśmy zapisali równanie w postaci x² + 0x − 3 = 0. Zatem b = 0.

Trudniejszy przykład:

$$5x^2+3x+\pi\cdot x=0$$

W tym równaniu są dwie pułapki. Nie ma w nim wyrazu wolnego, więc c = 0. Wyraz kwadratowy jest jasny, więc a = 5. Ale co z tym przeklętym b? Możemy równanie jeszcze trochę przekształcić i z dwóch wyrażeń wyłączyć przed nawias niewiadomą x:

$$5x^2+(3+\pi)x=0$$

Współczynnik b to znowu to, co stoi „przed” niewiadomą x, więc cały nawias jest równy współczynnikowi b = (3+π). Podobne równanie:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Pierwsze dwa współczynniki są oczywiste: a = −1 i b = 4. A wyraz wolny? To pozostałe wyrażenia, w których nie ma x. Zatem $c=1-\sqrt{2}$. Nie bój się pierwiastka, nie gryzie, to zwykła liczba.

A jakie wartości mają współczynniki tego równania? (x + 1)(x + 2) = −2x. Najpierw musimy sprowadzić równanie do postaci ogólnej. Wymnożymy nawiasy i dostaniemy

$$x^2+3x+2=-2x$$

a na koniec dodamy do równania 2x, żeby po prawej stronie zostało zero:

$$x^2+5x+2=0.$$

Wartości są już oczywiste: a = 1, b = 5, c = 2.

Równanie kwadratowe bez wyrazu liniowego

Jeśli b = 0, mamy do czynienia z równaniem kwadratowym bez wyrazu liniowego, które rozwiązuje się podobnie jak równanie liniowe. Postać ogólna takiego równania wygląda więc tak:

$$ax^2+c=0$$

Ponieważ b = 0, cały wyraz liniowy bx z równania znika, bo 0x = 0. Równanie rozwiązujemy tak, że najpierw odejmujemy wyraz wolny. Odejmujemy więc od równania wartość c. Dostajemy:

$$\begin{eqnarray} ax^2+c&=&0\quad/-c\\ ax^2&=&-c \end{eqnarray}$$

Następnie dzielimy równanie przez liczbę a. Dostajemy:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

I na koniec obie strony równania pierwiastkujemy. Ułamek po prawej stronie nie może przy tym być ujemny, bo z liczby ujemnej pierwiastka wyciągnąć się nie da. Dostajemy wynik:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},\quad x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Zauważ, że dostajemy dwa wyniki, jeden dodatni, a drugi ujemny. Lepiej będzie to widać na przykładzie. Rozwiążemy równanie

$$2x^2-8=0.$$

Zgodnie z opisanym sposobem najpierw odejmujemy wyraz c. Uważaj: wyraz c jest w tym przypadku ujemny, więc odejmujemy liczbę ujemną, czyli dodajemy dodatnią. Do całego równania dodajemy więc +8 (chodzi o to, żeby ósemka trafiła na prawą stronę). Dostajemy:

$$2x^2=8$$

Dalej zgodnie z opisanym sposobem dzielimy równanie przez liczbę a, czyli przez dwójkę. Po podzieleniu dostajemy:

$$x^2=4$$

Teraz pierwiastkujemy.

$$x_1=2,\quad x_2=-2$$

Skąd tam też minus dwa? Bo minus dwa razy minus dwa to cztery. Możemy też spojrzeć na rozwiązanie graficzne: widać, że wykres funkcji 2x² − 8 przecina oś x dokładnie w punktach x₁ = −2 i x₂ = 2.

Rozwiąż równanie

$$80x^2-5=0.$$

Do równania dodajemy piątkę:

$$80x^2=5$$

Dzielimy przez 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Skracamy ułamek:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Pierwiastkujemy:

$$x_1=\frac14,\quad x_2=-\frac14$$

Równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego

Kolejny szczególny przypadek równania kwadratowego zachodzi wtedy, gdy wyraz wolny c jest równy zeru. Postać ogólna równania wygląda tak:

$$ax^2+bx=0$$

Taki rodzaj równania rozwiązujemy, wyłączając niewiadomą przed nawias:

$$x(ax + b) = 0.$$

Tu już dość wyraźnie widać wynik. Znowu wyjdą dwa rozwiązania równania, ale jedno z nich będzie zawsze równe zeru. Całą lewą stronę mamy bowiem w postaci iloczynu dwóch wyrażeń: x i nawiasu (ax + b). Kiedy ten iloczyn jest równy zeru? Gdy przynajmniej jedno z tych wyrażeń jest równe zeru. Lewa strona jest więc równa zeru w dwóch przypadkach:

$$x=0\quad\mbox{lub}\quad ax+b=0.$$

Pierwszy wynik równania już więc mamy, jest nim zero. Kolejny dostaniemy, gdy rozwiążemy równanie liniowe ax + b = 0. Z artykułu o równaniach liniowych wiemy, że to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, równe:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Możemy więc już zapisać wynik całego równania kwadratowego ax² + bx = 0:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Przykład:

$$6x^2+3x=0$$

Wyłączamy x przed nawias:

$$x(6x+3)=0$$

Pierwsze rozwiązanie to x = 0. Drugie rozwiązanie znajdziemy, rozwiązując równanie liniowe 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac36=-\frac12.$$

Zapisujemy wynik:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac12.$$

Znowu możemy spojrzeć na wykres funkcji, który przecina oś x dokładnie w tych punktach:

Inne sposoby rozwiązywania

To były podstawowe techniki dla szczególnych rodzajów równań kwadratowych. Ogólne równanie kwadratowe rozwiązuje się za pomocą wyróżnika. Do dalszych rodzajów równań należy równanie kwadratowe z parametrem.