✖

Nierówność liniowa

Nierówności liniowe rozwiązuje się podobnymi przekształceniami jak zwykłe równanie liniowe. Nierówność liniowa ma zazwyczaj taką postać: ax + b>0 (ewentualnie ze znakiem „mniejsze”, „większe lub równe” albo „mniejsze lub równe”). Wystarczy już tylko przekształcić nierówność do następującej postaci i wynik gotowy: x>−b/a. Oczywiście zakładamy, że a>0. Dla ujemnego a przy dzieleniu zmieniłby się zwrot nierówności i wyszłoby x<−b/a.

Zwykła nierówność liniowa

Nierówność liniową można rozwiązać za pomocą przekształceń równoważnych nierówności.

  • Prosty przykład może wyglądać tak:

    $$ 3x + 9 > 3 $$

    Najpierw przeniesiemy wszystkie wyrażenia bez niewiadomej na prawą stronę. Dodamy więc do nierówności liczbę −9 i dostaniemy nierówność:

    $$\begin{eqnarray} 3x + 9 - 9 &>& 3 - 9\\ 3x &>& -6 \end{eqnarray}$$

    Następnie całą nierówność podzielimy przez trzy:

    $$\begin{eqnarray} 3x/3 &>& -6/3\\ x &>& -2 \end{eqnarray}$$

    To jest rozwiązanie całej nierówności. Nierówność jest spełniona dla wszystkich x > −2.

    Nierówność moglibyśmy rozwiązać też graficznie. Jeśli mamy nierówność 3x + 9 > 3, narysujemy wykresy dwóch funkcji — lewej i prawej strony nierówności. Dostaniemy funkcje f(x) = 3x + 9 i g(x) = 3. Ich wykresy wyglądają tak:

    Wykresy funkcji f(x) = 3x + 9 i g(x) = 3

    Widzimy, że te wykresy przecinają się w jednym punkcie x1, którego współrzędna x wynosi właśnie −2. Widzimy też, że dla wszystkich x > x1, czyli dla wszystkich x z przedziału (−2, ∞) czerwona funkcja 3x + 9 jest „nad” niebieską funkcją 3 („nad” w sensie „ma większą współrzędną y”). Zgadza się to z wynikiem, który przed chwilą obliczyliśmy.

  • Czasem, gdy masz w nierówności dużo minusów, przydaje się pomnożyć całą nierówność przez minus jeden. W takim przypadku musisz oprócz samych wartości w nierówności zmienić też zwrot nierówności — z „większe” zrobić „mniejsze” i odwrotnie:

    $$\begin{eqnarray} -x&<&-10\quad /\cdot(-1)\\ x&>&10 \end{eqnarray}$$

    Dotyczy to oczywiście każdej sytuacji, gdy mnożysz całą nierówność przez dowolną liczbę ujemną. Jeszcze jeden szybki przykład:

    $$\begin{eqnarray} -3x+8&<&2x-7\\ -5x&<&-15\qquad /\cdot \left(-\frac15\right)\\ x&>&3 \end{eqnarray}$$

    W pierwszym kroku po prostu dodamy do nierówności −2x, czyli przeniesiemy wszystkie wyrażenia ze zmienną na lewą stronę. Jednocześnie odejmiemy ósemkę, czyli przeniesiemy stałe na prawą stronę. Potem już tylko pomnożymy całą nierówność przez $-\frac15$.

    Dla ilustracji obejrzyj graficzne rozwiązanie nierówności, na którym narysujemy dwie funkcje f(x) = −3x + 8 i g(x) = 2x − 7.

    Wykresy funkcji f(x)=-3x+8 i g(x)=2x-7

    Widzimy, że czerwony wykres funkcji −3x + 8 leży pod niebieskim wykresem funkcji 2x − 7 zawsze wtedy, gdy x > 3.

Zmienna w mianowniku

Nierówność liniową, w której występują ułamki ze zmienną w mianowniku, rozwiązuje się nieco bardziej skomplikowanym sposobem. Przykładem może być nierówność:

$$ \frac{2}{x}+3>4 $$

Nie możemy pomnożyć nierówności przez niewiadomą z mianownika, bo nie znamy jej znaku. Gdyby bowiem wartość zmiennej była ujemna, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności. Dlatego nie możemy sobie tak po prostu pomnożyć nierówności przez zmienną z mianownika. Nie byłoby to przekształcenie równoważne nierówności.

Zaczniemy przekształcać nierówność tak, żeby dostać jeden ułamek po lewej stronie i zero po prawej. Najpierw dodamy więc do nierówności −4 i dostaniemy postać:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0 \end{eqnarray}$$

Teraz musimy zamienić wyrażenie po lewej stronie na jeden ułamek. Liczbę −1 pomnożymy więc przez ułamek $\frac{x}{x}$, dzięki czemu oba wyrażenia sprowadzimy do wspólnego mianownika, a potem ułamki już tylko dodamy:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}-1&>&0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}&>&0\\ \frac{2-x}{x}&>&0\\ \end{eqnarray}$$

Teraz stoimy przed pytaniem — kiedy ułamek jest dodatni? Ułamek jest dodatni, jeśli licznik i mianownik są dodatnie albo jeśli licznik i mianownik są ujemne. Jeśli jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny, to ułamek jest ujemny. Jeśli mamy na przykład ułamek $\frac43$, to cały ułamek przedstawia liczbę dodatnią. Jeśli mamy ułamek $\frac{-3}{4}$, to ułamek przedstawia liczbę ujemną. Ułamek $\frac{-3}{-4}$ przedstawia znowu liczbę dodatnią, bo minusy się skracają. Ogólnie możemy zapisać:

$$\begin{eqnarray} \frac{dodatnia}{dodatnia}&=&dodatnia\\ \frac{dodatnia}{ujemna}&=&ujemna\\ \frac{ujemna}{dodatnia}&=&ujemna\\ \frac{ujemna}{ujemna}&=&dodatnia \end{eqnarray}$$

Będziemy więc musieli rozwiązać dwa układy nierówności. Zaczniemy od tego, kiedy licznik i mianownik są dodatnie:

  1. Żeby licznik i mianownik były dodatnie, muszą być jednocześnie spełnione obie te nierówności:

    $$2-x>0\qquad\wedge\qquad x>0$$

    W pierwszej nierówności tylko przeniesiemy 2 na drugą stronę i pomnożymy przez −1:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&>&0\\ -x&>&-2\\ x&<&2 \end{eqnarray}$$

    Mamy rozwiązanie pierwszej nierówności. W drugiej nierówności x > 0 nie ma już czego dalej rozwiązywać. Teraz musimy wyznaczyć część wspólną tych rozwiązań, bo interesują nas przypadki, w których oba rozwiązania zachodzą jednocześnie, tzn. gdy licznik jest dodatni i jednocześnie mianownik jest dodatni. Pierwsze rozwiązanie możemy zapisać jako przedział (−∞,2), drugie jako przedział (0,∞). Teraz wyznaczymy część wspólną tych przedziałów:

    $$\left(-\infty,2\right) \cap \left(0,\infty\right) = \left(0{,}2\right)$$

    To jest pierwsza część rozwiązania nierówności. Jeśli podstawisz liczby z tego przedziału, nierówność będzie spełniona. Na przykład gdy za x podstawimy x = 1, czyli liczbę z przedziału (0,2), dostaniemy nierówność $\frac{2}{1}+3 > 4$, czyli 5 > 4. Zostaje jeszcze zbadać przypadek, gdy licznik i mianownik są ujemne.

  2. W przypadku, gdy licznik i mianownik mają być ujemne, rozwiązujemy nierówności:

    $$2-x < 0\qquad\wedge\qquad x<0$$

    Znowu szybko rozwiążemy nierówność 2 − x < 0:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&<&0\\ -x&<&-2\\ x&>&2 \end{eqnarray}$$

    Drugie rozwiązanie to znowu po prostu x < 0. Zapiszemy je jako przedziały: (2,∞) i (−∞, 0) i wyznaczymy część wspólną:

    $$ \left(2,\infty\right) \cap \left(-\infty, 0\right) = \emptyset $$

    Wyszedł nam zbiór pusty. Co to oznacza? Że ułamek $\frac{2-x}{x}$ nigdy nie może mieć jednocześnie ujemnego licznika i ujemnego mianownika.

Oba poprzednie wyniki już tylko połączymy (wyznaczymy ich sumę) i dostaniemy zbiór rozwiązań S:

$$S=\left(0{,}2\right)\cup\emptyset=\left(0{,}2\right)$$

Nierówność $\frac{2}{x}+3>4$ jest spełniona dla wszystkich x z przedziału (0,2). Możemy narysować wykres, na którym przedstawimy funkcje $f(x)=\frac{2}{x}+3$ i g(x) = 4:

Wykres funkcji f(x)=\frac{2}{x}+3 i g(x)=4

Widzimy, że czerwony wykres funkcji $f(x)=\frac{2}{x}+3$ leży nad niebieskim wykresem funkcji g(x) = 4 dokładnie w przedziale (0,2).

Nierówność liniowa z wartością bezwzględną

Trochę więcej zabawy jest z nierównościami, w których występuje wartość bezwzględna. Musisz bowiem osobno policzyć, kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie i znak się nie zmienia, a kiedy jest ujemne i znak się zmienia — w zasadzie powstają dwie nierówności w jednej. Prosty przykład:

$$\left|x + 5\right| < 12$$

Przede wszystkim musimy wyznaczyć miejsce zerowe, czyli liczbę, po której podstawieniu całe wyrażenie pod wartością bezwzględną jest równe zeru. Służy ono do wyznaczenia przedziałów, w których znak się zmienia, i tych, w których się nie zmienia. Najpierw rozwiązujemy więc równanie

$$x+5=0$$

Widzimy, że wynikiem jest x = −5. Ten wynik podzieli wartości x na dwa przedziały. W jednym wyrażenie x + 5 będzie przyjmować wartości dodatnie, w drugim ujemne. W przedziale (−∞, −5) dostajemy więc liczby ujemne, a w przedziale <−5, ∞) dodatnie, ściślej mówiąc nieujemne. Dla przykładu: w pierwszym wierszu jest liczba z pierwszego przedziału, w drugim z drugiego:

$$\begin{eqnarray} -8+5&=&-3\\ 13+5&=&18 \end{eqnarray}$$

Co nam to mówi? Że jeśli podstawimy za x wartość większą od minus pięciu, to wartość bezwzględna nie zmieni wyniku, bo x + 5 będzie liczbą dodatnią. Jeśli natomiast wartość x będzie mniejsza od minus pięciu, to wynik x + 5 będzie ujemny i wartość bezwzględna zmieni go na dodatni. Dlatego w nierówności musimy rozróżnić te dwa przypadki.

Najpierw obliczymy więc wynik w przypadku, gdy x bierzemy z przedziału <−5, ∞). Wtedy znak się nie zmienia, bo po prostu usuniemy wartość bezwzględną.

$$\begin{eqnarray} x+5&<&12\\ x&<&7\\ x&\in&\left(-\infty, 7\right) \end{eqnarray}$$

Mamy prawie pierwsze rozwiązanie. Musimy jeszcze wyznaczyć część wspólną z przedziałem, z którego właśnie wybieramy x. Poruszamy się bowiem w przedziale <−5, ∞), więc wynikiem tej nierówności liniowej nie może być na przykład x = −15, bo nie należy do naszego przedziału. Musimy więc wyznaczyć część wspólną:

$$\left<-5, \infty\right)\cap(-\infty, 7)=\left<-5{,}7\right)$$

To jest pierwszy wynik. Teraz musimy obliczyć wynik w przypadku, gdy x bierzemy z przedziału (−∞, −5). W tym przedziale wartość bezwzględna zmieni nam znak. Jeśli chcemy usunąć z nierówności wartość bezwzględną, musimy zmienić znak sami, tzn. pomnożymy wyrażenie spod wartości bezwzględnej przez −1, przez co zmienimy znak wyrażenia. Zapiszemy to więc tak:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ -(x+5)&<&12\\ -x-5&<&12 \end{eqnarray}$$

Do nierówności dodamy 5:

$$-x<17$$

I pomnożymy przez −1:

$$x>-17$$

Dostajemy więc wynik:

$$x\in(-17,\infty)$$

Ale tak jak poprzednio, wartość x wybieramy z przedziału (−∞, −5), więc musimy jeszcze wyznaczyć część wspólną tego przedziału z naszym wynikiem:

$$(-17,\infty)\cap(-\infty, -5)=(-17,-5)$$

Teraz mamy już oba wyniki, które tylko połączymy w sumę:

$$x\in\left<-5{,}7\right)\cup(-17,-5)=(-17{,}7)$$

Dla sprawdzenia możemy spojrzeć na wykresy tych funkcji:

wykresy funkcji

Jeszcze kilka słów o tym, kiedy użyć przedziału domkniętego, a kiedy otwartego. Jeśli mamy nierówność ostrą, np. x>0, używamy przedziału otwartego, bo x nie może być równe zeru. Jeśli nierówność nie jest ostra, x≥0, używamy przedziału domkniętego, bo x może być równe zeru. Jeśli na przykład do nierówności, którą właśnie rozwiązaliśmy, podstawisz x = 7, które „o włos” nie należy do rozwiązania nierówności, dostaniesz:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ (7+5)&<&12\\ 12&<&12 \end{eqnarray}$$

Nierówność nie jest spełniona, 12 nie jest mniejsze od 12.