Przekształcenia równoważne równań

Przy rozwiązywaniu równań używamy przekształceń równoważnych, czyli takich, które nie zmieniają prawdziwości równania. Chodzi o to, żeby doprowadzić równanie do jakiejś prostszej postaci, z której już łatwo odczytamy wynik.

Co to jest równanie

Najpierw krótko o tym, czym jest równanie i jak będziemy je zapisywać. Jeśli mamy dwie funkcje f(x) i g(x), możemy je do siebie przyrównać i dostaniemy równanie:

$$f(x)=g(x)$$

f(x) nazywamy wtedy lewą stroną równania, a g(x) prawą stroną. Zamiast abstrakcyjnych funkcji f(x) i g(x) możemy sobie wyobrazić konkretne funkcje, na przykład f(x) = 3x i g(x) = x + 2. Wtedy równanie wyglądałoby tak:

$$3x=x+2$$

Rozwiązaniem równania jest zbiór (oznaczmy go na przykład S) taki, że dla każdego x ze zbioru S po podstawieniu do równania równość jest prawdziwa. Rozwiązaniem przykładowego równania byłby więc zbiór

$$S=\left\{1\right\}.$$

Po podstawieniu do równania dostajemy

$$3\cdot1=1+2$$

Przekształcenie równoważne to takie przekształcenie, które nie zmienia prawdziwości równania. Byłoby to więc przekształcenie, w którym z funkcji f(x) dostalibyśmy funkcję f₁(x), tym samym przekształceniem z funkcji g(x) dostalibyśmy g₁(x), a mimo to wciąż zachodziłaby równość

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Pierwszym i najprostszym przekształceniem równoważnym równań (nie nierówności!) jest zamiana lewej i prawej strony. Chyba jest oczywiste, że jeśli zachodzi

$$f(x)=g(x),$$

to po zamianie stron też będzie zachodzić

$$g(x)=f(x).$$

Więcej o równaniach piszę w artykule Co to jest równanie.

Dodawanie

Najprostszym przykładem jest dodanie jakiegoś wyrażenia do obu stron równania. Przekształcenie równoważne zawsze stosujemy do obu stron równania. Weźmy takie równanie:

$$x-3=1.$$

To równanie możemy rozwiązać tak, że do obu stron dodamy liczbę trzy. Przy rozwiązywaniu równań zwykle zapisujemy wykonywane przekształcenie za ukośnikiem w wierszu, od którego zaczynamy, tak:

$$\begin{eqnarray} x-3&=&1\quad /+3\\ 3+x-3&=&1+3\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Ogólnie możemy zapisać, że jeśli znowu mamy dwie funkcje f(x) i g(x), możemy do nich dodać trzecią funkcję h(x) i nie zmienimy prawdziwości równania.

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&g(x)\quad/+h(x)\\ f(x)+h(x)&=&g(x)+h(x) \end{eqnarray}$$

Jak widać, nie musimy dodawać tylko liczby, możemy dodać także funkcję:

$$x=2x+6$$

Zwykle chcemy mieć zmienne po lewej stronie. Osiągniemy to tak, że do równania dodamy −2x, czyli odejmiemy 2x.

$$\begin{eqnarray} x&=&2x+6\quad/-2x\\ x-2x&=&2x-2x+6\\ -x&=&6\\ x&=&-6 \end{eqnarray}$$

Oczywiście możemy dodawać także ułamki, jeśli ci to pasuje.

$$x-\frac12=471$$

Dodamy jedną drugą i mamy wynik:

$$\begin{eqnarray} x-\frac12&=&471\quad/+\frac12\\ x-\frac12+\frac12&=&471+\frac12\\ x&=&471{,}5 \end{eqnarray}$$

Dodawanie do równania przyda ci się zwłaszcza wtedy, gdy chcesz „przerzucić” wyrażenie z jednej strony równania na drugą. Jeśli masz równanie

$$3=2x+17,$$

to jak przeniesiesz wyrażenie ze zmienną, czyli 2x, na lewą stronę równania? Po prostu dodasz do całego równania −2x. Dzięki temu po prawej stronie zamiast 2x dostaniesz zero, bo 2x − 2x = 0. A po drugiej stronie pojawi się −2x:

$$\begin{eqnarray} 3&=&2x+17\quad/-2x\\ 3-2x&=&2x-2x+17\\ 3-2x&=&17 \end{eqnarray}$$

Mnożenie

Równanie możemy też pomnożyć przez jakąś funkcję. Jedynym warunkiem jest to, że ta funkcja nie może być zerowa. Nie możemy pomnożyć równania przez zero ani przez funkcję, którą dałoby się przekształcić do zera, na przykład f(x) = x − x. Jeśli więc mamy równanie

$$3x=7,$$

możemy je pomnożyć przez dwa:

$$\begin{eqnarray} 3x&=&7\quad/\cdot2\\ 2\cdot3x&=&2\cdot7\\ 6x&=&14 \end{eqnarray}$$

To akurat nie miało większego sensu. Mnożenia używa się na przykład wtedy, gdy chcesz się pozbyć ułamków:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Jeśli to równanie pomnożymy przez mianownik ułamka z prawej strony równania, wyrażenie 5x ładnie się skróci dzięki własnościom ułamków.

$$\begin{eqnarray} 3&=&\frac{2}{5x}\quad/\cdot5x\\ 5x\cdot3&=&5x\cdot\frac{2}{5x}\\ \end{eqnarray}$$

Teraz pomnożymy ułamek przez wyrażenie 5x. W ten sposób 5x trafi do licznika ułamka i możemy wyrażenie 5x skrócić, bo mamy je zarówno w mianowniku, jak i w liczniku.

$$\begin{eqnarray} 15x&=&\frac{5x\cdot2}{5x}\\ 15x&=&2\\ \end{eqnarray}$$

Na początku tej części mówiłem, że nie wolno mnożyć przez zero. A teraz pomnożyliśmy przez wyrażenie 5x — tyle że to wyrażenie zawiera zmienną, a jeśli za tę zmienną podstawimy zero, całe wyrażenie też będzie równe zeru i proszę, już mnożymy przez zero. Co z tym zrobić?

Rozwiązuje się to tak, że ustala się warunki, przy których to przekształcenie możemy wykonać. Musimy więc w tym momencie zapisać, że przez 5x możemy mnożyć tylko przy założeniu, że x jest różne od zera. Ale spójrzmy jeszcze na równanie, które mnożyliśmy. Wyrażenie 5x już w nim występuje i to w mianowniku ułamka. Co to oznacza? Nie można dzielić przez zero, więc już sama dziedzina funkcji $\frac{2}{5x}$ wyklucza, żeby x było równe zeru.

Jeszcze raz więc: równanie zawiera ułamek z wyrażeniem 5x w mianowniku. Ponieważ nie można dzielić przez zero, równanie ma sens tylko przy założeniu, że x jest różne od zera. Dlatego całe równanie możemy bez obaw pomnożyć przez 5x, bo o potrzebne warunki zadbała już dziedzina funkcji w mianowniku.

Mnożenie przez bardziej złożone wyrażenia

Teraz ważna uwaga: jeśli mnożymy równanie przez jakieś wyrażenie, zawsze musimy pomnożyć całą prawą stronę i całą lewą stronę. Weźmy na przykład takie równanie:

$$x+2=x-4$$

Gdybyśmy chcieli pomnożyć je przez dwa, musielibyśmy pomnożyć całe strony, tak:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot(x+2)&=&2\cdot(x-4)\\ 2x+4&=&2x-8 \end{eqnarray}$$

Błędem byłoby nie zapisać tych nawiasów, bo dostalibyśmy zły wynik:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot x+2&=&2\cdot x-4\\ 2x+2&=&2x-4 \end{eqnarray}$$

Widzisz, że wynik jest inny niż w poprzednim przypadku. Podobnie gdy mnożysz przez bardziej złożone wyrażenie, musisz pomnożyć całe równanie. Weźmy na przykład równanie

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

To równanie pomnożymy przez wyrażenie x + 3, żeby pozbyć się zmiennej w mianowniku po prawej stronie.

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&\frac{2}{x+3}\quad /\cdot(x+3)\\ (x+3)(2x+1)&=&(x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3} \end{eqnarray}$$

Ułamek mamy teraz w postaci, w której możemy go ładnie skrócić przez wyrażenie x + 3:

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&2 \end{eqnarray}$$

Teraz możemy jeszcze wymnożyć lewą stronę równania i na koniec odjąć dwójkę, żeby „przenieść” dwójkę na lewą stronę. Po prawej stronie dostaniemy wtedy zero.

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&2\\ 2x^2+x+6x+3&=&2\\ 2x^2+7x+3&=&2\quad/-2\\ 2x^2+7x+1&=&0 \end{eqnarray}$$

Dzielenie

Tak samo jak możemy równanie mnożyć, możemy je też dzielić. Obowiązuje to samo ograniczenie co przy mnożeniu — nie wolno dzielić przez zero. Dzielenie możemy bowiem łatwo zamienić na mnożenie. Jeśli chcemy podzielić równanie przez wyrażenie w, będzie to to samo, jakbyśmy pomnożyli równanie przez ułamek 1/w. Dzielenia używa się często w przykładach takich jak ten:

$$12x=7$$

Z takim równaniem niewiele już zrobimy, możemy jedynie podzielić całe równanie przez dwanaście i dostaniemy wartość x.

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/:12\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Ten sam wynik dostalibyśmy, gdybyśmy pomnożyli równanie przez 1/12:

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/\cdot\frac{1}{12}\\ 12x\cdot\frac{1}{12}&=&7\cdot\frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}&=&\frac{7}{12}\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Podnoszenie do potęgi

Przy przekształcaniu równań możemy korzystać także z potęg, ale z pewnymi ograniczeniami. Najpierw odświeżmy sobie wiadomości o potęgach. Czy zachodzi taka równość?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Jeśli podniesiesz jakąś liczbę do kwadratu, a potem obliczysz z niej pierwiastek kwadratowy, dostaniesz z powrotem pierwotną liczbę? To podchwytliwe pytanie, a odpowiedź brzmi: nie zawsze. Wyobraź sobie, że za x podstawisz liczbę ujemną, na przykład minus trzy:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2}&=&-3\\ \sqrt{9}&=&-3\\ 3&\ne&-3 \end{eqnarray}$$

Jak widać, równość nagle nie zachodzi, bo gdy podniesiemy do kwadratu liczbę ujemną, dostaniemy liczbę dodatnią. A gdy z liczby dodatniej z powrotem wyciągniemy pierwiastek, dostaniemy znowu liczbę dodatnią. Kiedy ta równość byłaby prawdziwa? Wtedy, gdy wiemy, że pracujemy tylko z liczbami dodatnimi, a dokładniej nieujemnymi. Równanie możemy więc podnieść do kwadratu wtedy, gdy wiemy, że pracujemy z liczbami dodatnimi.

Na przykład w geometrii często rozwiązujemy równania, w których występują długości jakichś odcinków, i wtedy możemy bez obaw podnosić do potęgi, bo długość nie może być ujemna. Także przy podnoszeniu do potęgi albo wyciąganiu pierwiastka obowiązuje zasada, że musimy przekształcić całe równanie. Przykład:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Załóżmy, że ograniczamy się do liczb dodatnich, więc możemy podnieść całe równanie do kwadratu:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x+2}&=&x+4\quad/^2\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2&=&(x+4)^2\\ x+2&=&x^2+8x+16\\ x^2+7x+14&=&0 \end{eqnarray}$$

Dostaliśmy równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać sposobami opisanymi w tamtym artykule.

Jak rozwiązać równanie, które trzeba podnieść do kwadratu, jeśli nie masz pewności, czy masz do czynienia tylko z liczbami dodatnimi? Po prostu podnosisz do kwadratu, a potem robisz sprawdzenie, bo przez podniesienie do kwadratu możesz dostać wyniki, które nie są prawidłowymi rozwiązaniami równania. Przykład:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Teraz podniesiemy równanie do kwadratu:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\quad/^2\\ \left(\sqrt{x}\right)^2&=&(x-2)^2\\ x&=&x^2-4x+4\\ x^2-5x+4&=&0 \end{eqnarray}$$

Znowu dostajemy równanie kwadratowe, więc rozwiążemy je jakimś odpowiednim sposobem, na przykład rozkładem na czynniki (dokładny sposób postępowania znajdziesz w podlinkowanym artykule):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Widzimy, że jeden wynik to 1, a drugi 4. Wiemy jednak, że wykonaliśmy przekształcenie, które nie jest równoważne, więc musimy jeszcze zrobić sprawdzenie. Podstawimy te rozwiązania do pierwotnego równania i sprawdzimy, który z wyników jest prawidłowym rozwiązaniem pierwotnego równania. Najpierw podstawimy jedynkę:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{1}&=&1-2\\ 1&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Sprawdzenie pokazało, że jedynka nie jest rozwiązaniem pierwotnego równania. A czwórka?

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{4}&=&4-2\\ 2&=&2 \end{eqnarray}$$

Czwórka jest rozwiązaniem pierwotnego równania, znaleźliśmy wynik.