Co to jest równanie

Równanie to jedno z podstawowych pojęć matematyki i jedno z narzędzi, dzięki którym cała matematyka w ogóle działa.

Przykład na początek

Równanie ma lewą stronę, potem znak równości i prawą stronę. Najprostsze równanie może wyglądać tak:

$$x=2$$

Po lewej stronie jest zmienna x, potem znak równości, a po prawej stronie liczba 2. To równanie jest proste i mówi nam, że wartość zmiennej x jest równa dwóm. Zmienna x zwykle oznacza coś, czego szukamy. Może to być na przykład liczba guzików w koszuli albo pensja pracownika.

Tyle że równanie w takiej postaci to raczej coś, do czego chcemy dojść, a nie coś, co dostaniemy w treści zadania. W praktyce mamy zwykle jakieś bardziej skomplikowane równanie, na przykład wiemy, ile łącznie zarabia pięciu pracowników, a naszym zadaniem jest ustalić, ile zarabia jeden z nich (zakładając, że wszyscy zarabiają tyle samo).

Wiemy na przykład, że pięciu programistów zarabia łącznie 120 000 zł miesięcznie. Ile zarabia jeden programista? Równanie ułożymy tak: przez x oznaczymy pensję jednego programisty. Wtedy dostajemy równanie:

$$5x=120 000$$

To równanie jest matematycznym zapisem treści zadania „pięciu programistów zarabia razem 120 000”. Naszym celem jest ustalić pensję jednego programisty, czyli znaleźć wartość x = ?. Wybiegniemy trochę naprzód, użyjemy przekształceń równoważnych i podzielimy równanie przez pięć. Jeśli pięciu programistów dostaje 120 000, to jeden programista dostaje pięć razy mniej. W wyniku mamy

$$x=120 000 / 5$$

a po podzieleniu

$$x=24 000.$$

Definicja równania

Do zdefiniowania pojęcia równania musimy wiedzieć, czym jest funkcja. Jeśli znamy funkcje, możemy sobie wyobrazić równanie jako zapis równości dwóch funkcji:

$$f(x)=g(x)$$

To jest ogólny zapis równania z jedną niewiadomą. Po lewej stronie mamy funkcję f, a po prawej stronie funkcję g. Naszym zadaniem jest znaleźć rozwiązania równania, czyli takie wartości x, dla których funkcje f i g mają tę samą wartość.

Chcemy więc znaleźć takie konkretne wartości x, oznaczę je x₁, dla których zachodzi

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Weźmy do pomocy równanie 2x = −4x + 6. Wtedy f(x) = 2x i g(x) = −4x + 6. Szukamy takich x, dla których funkcja f ma tę samą wartość co funkcja g. Rozwiązując równanie za pomocą przekształceń równoważnych, dostajemy:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 2x+4x&=&-4x+4x+6\\ 6x&=&6\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Rozwiązaniem równania jest wartość x = 1. Dla tej wartości obie funkcje powinny dać ten sam wynik. Jeśli podstawimy jedynkę do funkcji f, dostaniemy

$$f(1)=2\cdot1=2$$

Funkcja f ma w punkcie jeden wartość dwa. A funkcja g? Podstawmy do niej jedynkę:

$$g(1)=-4\cdot1+6=-4+6=2$$

Widzimy, że znowu wyszła dwójka. Liczba jeden jest więc rozwiązaniem równania. Jest to zarazem jedyne rozwiązanie tego równania w zbiorze liczb rzeczywistych. Gdybyśmy podstawili do funkcji inną wartość, dostalibyśmy różne wyniki. Na przykład dla piątki wyszłoby:

$$\begin{eqnarray} f(5)&=&2\cdot5=10\\ g(5)&=&-4\cdot5+6=-20+6=-14 \end{eqnarray}$$

Interpretacja graficzna

Rozwiązania równania mają ładną i oczywistą interpretację graficzną. Jeśli narysujesz wykresy funkcji, które występują po lewej i po prawej stronie równania, to te wykresy przetną się dokładnie w tych miejscach, w których równanie ma rozwiązanie.

Wróćmy do równania 2x = −4x + 6. Funkcja po lewej stronie to f(x) = 2x, a funkcja po prawej stronie to g(x) = −4x + 6. Wiemy, że rozwiązaniem tego równania jest wartość x = 1. Powinno więc być tak, że te funkcje przecinają się w punkcie, którego pierwsza współrzędna wynosi jeden. Oto wykresy obu funkcji:

Widzisz, że proste przecinają się w jednym punkcie i ten punkt ma współrzędne (1,2). Pierwsza współrzędna to wartość x, czyli rozwiązanie równania. Druga to wartość y, czyli wynik, jaki dają obie funkcje, gdy podstawisz do nich jedynkę.

Rozwiązaniami równania są więc pierwsze współrzędne wszystkich punktów, w których przecinają się wykresy funkcji z lewej i prawej strony. Często przekształcamy równanie tak, żeby po prawej stronie było zero, czyli funkcja stała g(x) = 0. Wtedy sprawdzamy, w którym miejscu funkcja z lewej strony przecina oś x. Poprzednie równanie 2x = −4x + 6 możemy przekształcić tak, żeby po prawej stronie było zero:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 6x&=&6\\ 6x-6&=&0 \end{eqnarray}$$

Jeśli narysujemy wykres funkcji z lewej strony…

… zobaczymy, że wykres przecina oś x w punkcie 1. Widać, że choć przekształciliśmy równanie tak, żeby po prawej stronie było zero, dostajemy ten sam wynik — znowu jedynkę.

Liczba rozwiązań równania

Z interpretacji graficznej równań możemy wywnioskować, ile różnych rozwiązań może mieć równanie. Łatwo odpowiemy na pytania w rodzaju: czy każde równanie ma rozwiązanie? Czy równanie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie? Czy równanie może mieć nieskończenie wiele rozwiązań?

Brak rozwiązań

Zacznijmy po kolei. Czy istnieje równanie, które nie ma rozwiązania? Sprowadzimy to do pytania: czy istnieją dwa wykresy funkcji, które nigdy się nie przecinają? Oczywiście, że istnieją. Jeśli zostaniemy przy równaniach liniowych, których wykresami są proste, to wystarczy wziąć proste równoległe. Na przykład:

$$x+1=x+2$$

Już zdrowym rozsądkiem dojdziemy do tego, że x + 1 nigdy nie może być jednocześnie równe x + 2. Kiedy narysujemy wykres, dostaniemy:

Widzimy, że wykresy funkcji to proste równoległe, które nigdy się nie przetną. Równanie, które z nich ułożyliśmy, nie ma więc żadnego rozwiązania. Równanie możemy przekształcić tak:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&x+2\\ x-x&=&2-1\\ 0x&=&1\\ 0&\ne&1 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że równanie naprawdę nie ma żadnego rozwiązania.

Możemy wymyślić wiele innych równań, które nie mają rozwiązania, na przykład równanie x² = x − 1. Wykresy obu funkcji nigdy się nie przetną:

Kilka rozwiązań

Czy równanie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie? (Ale wciąż skończenie wiele.) Znowu sprowadzimy to do pytania: czy istnieją dwa wykresy funkcji, które mają skończenie wiele punktów wspólnych, a jednocześnie więcej niż jeden?

Na pewno istnieją. W poprzednim rozdziale ostatnim przykładem było równanie z funkcją kwadratową i liniową. Poprzedni wykres możemy zmienić tak, że przesuniemy prostą, żeby przecinała wykres funkcji kwadratowej dokładnie w dwóch punktach. Wystarczy zamiast y = x − 1 wziąć funkcję y = x.

Widzimy, że wykresy przecinają się w dwóch punktach. Równanie moglibyśmy rozwiązać tak:

$$\begin{eqnarray} x^2&=&x\\ x^2-x&=&0\\ x\cdot(x-1)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&1 \end{eqnarray}$$

Nieskończenie wiele rozwiązań

Czy istnieją równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań? Czyli czy istnieją dwa wykresy, które przecinają się w nieskończenie wielu punktach? Tak, istnieją. Wystarczy wziąć jakąś funkcję okresową i odpowiednio poprowadzić przez nią prostą. Typową funkcją okresową jest sinus. Zbiorem wartości sinusa jest przedział <−1, 1> i w tym zakresie sinus okresowo się powtarza.

Wystarczy więc przyjąć sin(x) = a, gdzie a należy do zbioru wartości. Konkretny przykład mógłby wyglądać tak: sin(x) = 0,5. Wykresy funkcji:

Widzimy, że na rysunku prosta przecina sinusoidę w kilku punktach. Sinusoida faluje dalej zarówno w prawo, jak i w lewo, więc i po prawej, i po lewej stronie prosta przetnie ją jeszcze nieskończenie wiele razy.

Te same funkcje w równaniu

Czy może się zdarzyć, że za x możemy podstawić dowolną wartość z dziedziny funkcji i równanie będzie spełnione? Zdarza się to tylko wtedy, gdy obie funkcje są takie same albo gdy jedną funkcję możemy przekształcić w drugą. Przykład:

$$2x+4=2\cdot(x+2)$$

Na pierwszy rzut oka po obu stronach mamy różne funkcje, ale jeśli wymnożymy nawias po prawej stronie, dostaniemy te same funkcje:

$$2x+4=2x+4$$

Zbiór rozwiązań takiego równania jest równy dziedzinie funkcji, czyli zbiór rozwiązań jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych. Takie równanie można przekształcić do postaci 0 = 0.

$$\begin{eqnarray} 2x+4&=&2x+4 \qquad/-2x\\ 4&=&4 \qquad /-4\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$