Równanie liniowe

Równanie liniowe to takie równanie, które możemy przekształcić do postaci ax + b = 0, gdzie a≠0. Konkretny przykład mógłby wyglądać na przykład tak: 2x + 4 = 0. Rozwiązaniem tego równania jest liczba −2, co da się chyba dość łatwo wydedukować. Gdyby liczby były trochę większe, takie zgadywanie nie byłoby już tak proste, więc przyda się jakiś konkretniejszy sposób.

Postać ogólna równania liniowego

Równanie liniowe to równanie, w którym występuje jedna niewiadoma x i nie jest ona podnoszona do potęgi, nie wyciągamy z niej pierwiastka itp. Przyjrzyj się przykładom różnych równań liniowych:

$$\begin{eqnarray} 2x+7&=&0\\ x-2&=&74\\ (x+3)-(7x\cdot3)&=&-12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}&=&x\cdot\frac{45}{8}+\frac{x^2}{x} \end{eqnarray}$$

Jak widzisz, równanie liniowe może mieć wiele różnych postaci. Żeby dało się je wygodnie rozwiązywać, musimy je przekształcić do postaci ogólnej. Postać ogólna równania liniowego wygląda tak:

$$ax+b=0,$$

gdzie x jest niewiadomą, a symbole a i b to dowolne liczby rzeczywiste. Przy tym liczba a nie może być zerem, czyli a≠0. Wyrażenie ax nazywamy wyrazem liniowym, a b wyrazem wolnym.

Przy rozwiązywaniu równania liniowego możemy korzystać z wielu różnych przekształceń równoważnych (czyli takich przekształceń, które nie zmieniają rozwiązania równania). Te przekształcenia trzeba znać, bez nich nie da się rozwiązać żadnego bardziej złożonego równania. Do postaci ogólnej możemy równanie doprowadzić albo przekształcając same wyrażenia, które w nim występują, albo korzystając z przekształceń równoważnych równań.

Wróćmy do poprzednich przykładów: równanie 2x + 7 = 0 jest już w postaci ogólnej i mamy a = 2 oraz b = 7. Drugie równanie, x − 2 = 74, nie jest w postaci ogólnej. Użyjemy przekształcenia równoważnego i do obu stron równania dodamy liczbę −74 (czyli od obu stron odejmiemy liczbę 74). Dostaniemy równanie x − 76 = 0. To równanie jest już w postaci ogólnej i mamy a = 1 oraz b = −76.

Przedostatniemu równaniu daleko do postaci ogólnej, ale i je możemy odpowiednio przekształcić. Najpierw „zrobimy” zero po prawej stronie. Dodamy więc do równania wyrażenie 12x. Prawa strona się wyzeruje, bo (−12x)+12x = 0. Całe równanie będzie wyglądać tak:

$$(x+3)-(7x\cdot3)+12x=0$$

Teraz zostaje nam już tylko pozbyć się nawiasów i zsumować.

$$\begin{eqnarray} (x+3)-(7x\cdot3)+12x&=&0\\ x+3-21x+12x&=&0\\ -8x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

To równanie liniowe jest w postaci ogólnej i mamy a = −8 oraz b = 3.

W ostatnim równaniu musimy pozbyć się ułamków, a także usunąć x², bo takie wyrażenie w równaniu liniowym występować nie może. Ułamek $\frac{x^2}{x}$ możemy jednak łatwo skrócić do samego x. Dostaniemy więc równanie

$$\frac{x}{2}+\frac{3x}{72}=x\cdot\frac{45}{8}+x$$

Ułamków pozbędziemy się, mnożąc całe równanie przez 72:

$$72\cdot\frac{x}{2}+72\cdot\frac{3x}{72}=72x\cdot\frac{45}{8}+72x$$

Skracamy:

$$36x+3x=9x\cdot45+72x$$

I to równanie łatwo sprowadzimy do postaci ogólnej, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę i sumując je:

$$-438x=0$$

Mamy a = −438 i b = 0.

Jak rozwiązać równanie liniowe

Jeśli mamy równanie liniowe w postaci ogólnej, rozwiązuje się je już łatwo. Pokażmy to na przykładzie: 3x − 18 = 0. Od czego musimy odjąć liczbę 18, żeby dostać zero? No właśnie od liczby 18. Żeby więc wyrażenie 3x − 18 było równe zeru, wyrażenie 3x musi być równe 18, wtedy dostaniemy 18 − 18 = 0. Kiedy wyrażenie 3x będzie równe 18? Dokładnie wtedy, gdy x = 6, bo 3 · 6 = 18.

Jak wyprowadzić z tego ogólny sposób? Najpierw musimy ustalić, ile ma wynosić wyraz liniowy ax. Zrobimy to, przenosząc wyraz wolny na prawą stronę równania, czyli dodając do równania −b. Dostaniemy równanie postaci ax + b − b = −b, co jest tym samym co ax = −b. W poprzednim przykładzie dostalibyśmy więc 3x − 18 + 18 = 18, czyli 3x = 18. Pamiętaj, że liczba b była równa b = −18, więc jeśli dodajemy −b, dodajemy −(−18), a to jest równe +18.

Równanie mamy w postaci ax = −b. Jak dostać samo x? W przykładzie szukaliśmy takiego x, które po pomnożeniu przez trzy da 18. Co tak naprawdę zrobiliśmy? Podzieliliśmy 18/3 = 6. Wzięliśmy więc wyrażenie z prawej strony (−b) i podzieliliśmy je przez a, w przykładzie przez trójkę. Z ax = −b dostajemy więc

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Cały ten sposób zastosowany do pierwszego przykładu wygląda tak:

$$\begin{eqnarray} 3x-18&=&0\quad/+18\\ 3x&=&18\quad/:3\\ x&=&6 \end{eqnarray}$$

Interpretacja geometryczna

Jeśli przekształcimy równanie liniowe do postaci ogólnej, po lewej stronie dostaniemy funkcję liniową. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Ponieważ postać ogólna równania liniowego wygląda tak: ax + b = 0, rozwiązaniem tego równania jest pierwsza współrzędna punktu, w którym prosta (wykres funkcji liniowej) przecina oś x (która jest zarazem wykresem funkcji f(x) = 0, czyli prawej strony).

Na przykład ustaliliśmy, że rozwiązaniem równania 3x − 18 = 0 jest x = 6. Co to oznacza? Że wykres funkcji 3x − 18 przecina oś x w punkcie x = 6.

Spróbujmy rozwiązać graficznie równanie 5x + 2 = 2x − 7. Jak możemy to zrobić? Możemy przekształcić równanie do postaci ogólnej, czyli dodać −2x, przez co dostaniemy 3x + 2 = −7, a następnie dodać 7: 3x + 9 = 0. Teraz narysujemy wykres funkcji liniowej y = 3x + 9 i sprawdzimy, gdzie przecina oś x.

Drugi sposób polega na tym, że równania w ogóle nie przekształcamy, tylko rysujemy wykresy funkcji z obu stron równania. Czyli narysujemy wykresy funkcji f(x) = 5x + 2 i g(x) = 2x − 7.

Te dwie proste przecięły się w jednym punkcie, oznaczonym jako A. Jaką współrzędną x ma ten punkt A? Znowu x = −3. Graficznym rozwiązaniem równania 5x + 2 = 2x − 7 jest więc współrzędna x punktu przecięcia wykresów funkcji z lewej i prawej strony.

Rozwiązane przykłady

Przykład pierwszy: Spróbujmy rozwiązać równanie 7x − 14 = 0. Sytuacja jest prosta, równanie jest w postaci ogólnej, więc tylko stosujemy nasz sposób:

$$\begin{eqnarray} 7x-14&=&0\quad/+14\\ 7x&=&14\quad/:7\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Przykład drugi: Rozwiąż równanie 2x + 10 = 0. Równanie znowu jest w postaci ogólnej, musisz tylko uważać, bo b jest dodatnie, więc po przekształceniu wyjdzie ci po prawej stronie liczba ujemna:

$$\begin{eqnarray} 2x+10&=&0\quad/-10\\ 2x&=&-10\quad/:2\\ x&=&-5 \end{eqnarray}$$

Przykład trzeci: Rozwiąż równanie 15 − 3x = 0. Równanie jest prawie w postaci ogólnej, musimy tylko przestawić niewiadomą x na pierwsze miejsce. Wtedy mamy równanie postaci −3x + 15 = 0. Znowu uwaga: przed wyrazem liniowym stoi tu minus, czego dotąd nie mieliśmy. Przekształcenia będą jednak dokładnie takie same:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/:(-3)\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Przykład możemy rozwiązać także trochę inaczej, dłuższym sposobem. Zamiast od razu podzielić równanie przez −3, możemy najpierw pomnożyć je przez −1, przez co pozbędziemy się obu minusów. A potem już podzielimy równanie przez trzy:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/\cdot(-1)\\ 3x&=&15\quad/:3\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Przykład czwarty: Rozwiąż równanie liniowe

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

To równanie jest już nieco trudniejsze, bo mamy w nim ułamki. Najpierw musimy się ich pozbyć. Najlepiej pomnożyć całe równanie przez najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników. Mamy dwa mianowniki: 4 i 2. Ich najmniejsza wspólna wielokrotność to 4. Jeśli nie chce ci się jej szukać, możesz pomnożyć całe równanie przez iloczyn wszystkich mianowników, czyli 4 · 2 = 8, ale tego nie polecam, bo utrudnisz sobie życie w kolejnym kroku. Jeśli pomnożymy równanie przez cztery, pozbędziemy się ułamków, skracając je po kolei:

$$\begin{eqnarray} 3+\frac{x}{4}&=&\frac{x}{2}\quad/\cdot4\\ 4\cdot3+4\cdot\frac{x}{4}&=&4\cdot\frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}&=&\frac{4x}{2}\\ 12+x&=&2x \end{eqnarray}$$

Teraz przekształcimy równanie do postaci ogólnej: x − 12 = 0, i z tego równania już widać, że x = 12.

Przykład piąty / zadanie tekstowe: Mamy dwóch braci, Tomka i Jędrka. Jędrek zaraz po szkole średniej poszedł do pracy, a Tomek poszedł jeszcze na studia, które trwały w sumie pięć lat. Jędrek dostawał co miesiąc pensję 5 000 zł. Choć Tomek skończył rekreację ze specjalnością leżenie na leżaku, udało mu się dostać pracę w administracji państwowej, gdzie dostawał 7 000 zł miesięcznie. Po jakim czasie Tomek zarobi łącznie tyle samo pieniędzy co Jędrek? Dla jasności: przez pięć lat Jędrek zarobił 5 · 12 · 5 000 zł, a Tomek po pięciu latach ma okrągłe zero. Po ilu miesiącach te kwoty się zrównają?

Z treści zadania możemy ułożyć równanie liniowe tak: zmienna x będzie oznaczać szukaną liczbę miesięcy, przy czym x = 0 oznacza zero miesięcy od chwili, gdy Tomek skończył studia.

Najpierw ułożymy funkcję, która będzie opisywać zarobki Tomka w zależności od liczby miesięcy. Jeśli na przykład interesuje nas, ile Tomek zarobi przez sześć miesięcy, po prostu policzymy: 7 000 · 6 = 42 000 zł. Ogólnie możemy zapisać, że po x miesiącach Tomek zarobił łącznie 7 000 · x zł.

U Jędrka byłoby podobnie: 5 000 · x, tyle że musimy jeszcze dodać kwotę, którą zarobił, kiedy Tomek studiował. Tomek studiował pięć lat, więc Jędrek w czasie jego studiów zarobił 5 · 12 · 5 000 zł. Cały wzór dla Jędrka będzie więc wyglądać tak: 5 · 12 · 5 000 + 5 000 · x.

Te funkcje wstawimy do równania, bo interesuje nas, dla jakiego x te zarobki są równe:

$$ 5 \cdot 12 \cdot 5 000 + 5 000 \cdot x = 7 000 \cdot x $$

Równanie łatwo przekształcimy, przenosząc wszystkie wyrazy z x na jedną stronę równania:

$$ 2000x = 5 \cdot 12 \cdot 5 000 $$

I na koniec już tylko podzielimy przez 2 000:

$$ x = 5 \cdot 12 \cdot 2{,}5 = 150 $$

Po 150 miesiącach obaj będą mieli tyle samo pieniędzy. Jędrek w czasie studiów Tomka zarobił ładne 5 · 12 · 5 000 = 300 000 zł, a przez kolejnych 150 miesięcy zarobił 5 000 · 150 = 750 000, czyli razem 300 000 + 750 000 = 1 050 000 zł. Tomek pracował tylko przez te 150 miesięcy i w tym czasie zarobił 7 000 · 150 = 1 050 000 zł. Widzimy, że po pięciu latach studiów i kolejnych 150 miesiącach obaj rzeczywiście zarobili tyle samo.

Kolejne przykłady

Rozwiąż następujące równanie liniowe:

$$2\cdot(x - 7) = 6$$

Najpierw wymnażamy nawias:

$$2x-14=6$$

Teraz po lewej stronie zostawiamy wyraz z niewiadomą, a wszystko inne przenosimy na prawą stronę:

$$2x=20$$

… i na koniec dzielimy przez dwa.

$$x=10$$

Rozwiąż równanie

$$3\cdot(3 - x) + 5\cdot(x - 2) = 0$$

Znowu najpierw wymnażamy nawiasy:

$$9-3x+5x-10=0$$

Redukujemy wyrazy podobne, wyrazy ze zmienną przenosimy na lewą stronę, a resztę na prawą:

$$\begin{eqnarray} 9-3x+5x-10&=&0\\ 2x-1&=&0\\ 2x&=&1 \end{eqnarray}$$

Na koniec dzielimy całe równanie przez dwa:

$$x=\frac12$$