Równania dwukwadratowe

Równaniem dwukwadratowym jest na przykład równanie 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Ogólnie równanie nazywamy dwukwadratowym, jeśli za pomocą przekształceń równoważnych da się je sprowadzić do postaci

$$\large ax^4+bx^2+c=0$$

gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a współczynnik a jest różny od zera. Równanie trochę przypomina równanie kwadratowe, tylko wykładniki są dwa razy większe. Jak takie równanie rozwiązać? Małą sztuczką zamienimy je właśnie na równanie kwadratowe. Ta sztuczka nazywa się podstawienie. Podstawienia dokonujemy tak, że ustalamy t = x² i wszędzie tam, gdzie w pierwotnym równaniu było x², piszemy teraz t. Weźmy dla przykładu równanie dwukwadratowe

$$\large x^4-2x^2-15=0$$

Każde x² zastępujemy przez t, pamiętając przy tym, że x⁴ to w rzeczywistości x² · x², czyli x⁴ = t²:

$$\large t^2-2t-15=0$$

Teraz widać, po co było to podstawienie — dostaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Możemy je rozwiązać na przykład obliczając wyróżnik albo metodą sprowadzenia do postaci kanonicznej. Wyróżnik wychodzi

$$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$$

Rozwiązania równania są więc równe

$$t_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm8}{2}$$

Mamy zatem dwa rozwiązania równania:

$$\large t_1=5, \qquad t_2=-3$$

Znamy już więc rozwiązania równania kwadratowego t² − 2t − 15 = 0. Zostaje nam obliczyć rozwiązania pierwotnego równania dwukwadratowego. Wiemy, że jeśli t jest równe pięciu albo minus trzem, to równanie jest spełnione. Nie chodzi nam jednak o rozwiązania dla t, tylko o rozwiązania dla x. Wiemy, że t = x², bo tak wybraliśmy podstawienie. Dlatego gdy teraz rozwiążemy równania

$$\large x^2 = 5 \qquad \mbox{i} \qquad x^2=-3$$

dostaniemy rozwiązania pierwotnego równania dla x. Pierwsze równanie jest proste: jeśli x² = 5, to

$$\large x_1 = \sqrt{5}, \qquad x_2 = -\sqrt{5}$$

Z drugim równaniem jest trudniej, bo x² = −3 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych; rozwiązań musielibyśmy szukać w zbiorze liczb zespolonych. Jeśli szukamy tylko rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, możemy powiedzieć, że pierwotne równanie dwukwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1 = \sqrt{5}$ i $x_2 = -\sqrt{5}$.