Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne to równania, w których występuje jakaś funkcja trygonometryczna, czyli sinus, cosinus, tangens albo cotangens.

Podstawowe równanie trygonometryczne

Weźmy równanie sin x = 0. Dla jakich x to równanie będzie prawdziwe? Kiedy sinus jest równy zeru? Zacznijmy od spojrzenia na wykres:

Okazuje się, że sin x jest równy zeru całkiem często. Konkretnie dla wartości −π, 0, π, 2π i wielu innych. Ponieważ sinus jest funkcją okresową, kolejne rozwiązania równania będą od siebie oddalone o stałe odstępy — w tym przypadku o długości π. Dlatego zbiór wszystkich rozwiązań tego równania możemy zapisać jako zbiór, oznaczmy go R, który definiujemy tak:

$$ R = {K\cdot\pi | K \in \mathbb{Z}} $$

Są to więc wszystkie wielokrotności liczby pi, czyli pi pomnożone przez K, gdzie K jest liczbą całkowitą. W ten sposób opisaliśmy zbiór wszystkich rozwiązań równania sin x = 0.

Przypomnijmy, że sinus i cosinus mają zbiór wartości równy przedziałowi <−1, 1>, więc równanie sin x = 2 nie ma żadnego rozwiązania, bo nie da się znaleźć takiego x, dla którego wyrażenie sin x miałoby wartość większą od jedynki. Oczywiście równanie 3 · sin x = 2 już rozwiązanie ma, bo możemy całe równanie podzielić przez trzy i po prawej stronie dostaniemy liczbę mniejszą od jedynki. Szukalibyśmy wtedy rozwiązań równania sin x = 2/3.

Rozwiązanie prostego przykładu

Proste równania trygonometryczne rozwiązujemy tak, że na przykład z wykresu albo z okręgu jednostkowego odczytujemy rozwiązanie i ustalamy okres, który do wyniku dodajemy. Przykład: rozwiąż równanie

$$ \sin x = \frac12 $$

Wykres funkcji sinus mamy wyżej, więc patrzymy, kiedy krzywa ma wartość $\frac12$. Okazuje się, że dzieje się tak dla 1/6π i 5/6π. Gorąco polecam nauczyć się podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych z tabeli, bez nich nawet zerkanie na wykres nie pomoże.

Teraz musimy ustalić okres, żeby wiedzieć, jak zbudować zbiór wszystkich rozwiązań. Funkcja sinus ma okres 2π — jeśli spojrzysz na wykres, zobaczysz, że co 2π funkcja zaczyna się powtarzać.

Skoro więc jednym rozwiązaniem równania jest 1/6π, to również każda liczba 1/6π + 2Kπ, gdzie K jest liczbą całkowitą, musi być rozwiązaniem równania, bo w tym miejscu funkcja sinus ma tę samą wartość. To 2K oznacza po prostu, że chcemy tylko parzyste liczby całkowite. Jeśli za K podstawisz dowolną liczbę całkowitą i pomnożysz ją przez dwa, dostaniesz liczbę parzystą. Dokładnie tak samo jest z drugim rozwiązaniem, 5/6π. W punktach 5/6π, 5/6π + 14π i 5/6π − 82π funkcja sin x ma tę samą wartość, dlatego rozwiązaniami równania będą wszystkie liczby 5/6π + 2Kπ.

Zapiszmy wynikowy zbiór R, będzie on sumą obu poprzednich wyników:

$$ R = \left\{\frac16\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\frac56\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Graficznie możemy rozwiązania przedstawić jako punkty przecięcia wykresu funkcji sin x (czerwony wykres) i funkcji $y = \frac12$ (zielony wykres).

Gdybyśmy na przykład za K podstawili K = 0, otrzymalibyśmy rozwiązania:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac16\pi+2K\pi = \frac16\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac16\pi\\ x_2 &=& \frac56\pi+2K\pi = \frac56\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac56\pi \end{eqnarray}$$

Czyli x₁ = 1/6π i x₂ = 5/6π. Na rysunku odpowiadają im punkty B i C, bo ich współrzędna x wynosi właśnie 1/6π, odpowiednio 5/6π. Gdybyśmy podstawili K = 1, otrzymalibyśmy punkty D i E.

Podstawienie

Jeśli w argumencie funkcji mamy jakieś bardziej złożone wyrażenie, możemy użyć podstawienia, czyli zastąpić je czymś prostszym. Jeśli na przykład chcemy rozwiązać równanie sin 2x = 1, podstawiamy a = 2x i dalej liczymy już z równaniem w postaci sin a = 1, dokładnie tak, jak pokazaliśmy w poprzednim rozdziale. Podstawienie zwykle wygląda tak, że bierzemy argument funkcji, w tym przypadku 2x, i w jego miejsce piszemy jakąś inną niewiadomą. Możemy ją nazwać właściwie jakkolwiek, tutaj wybraliśmy nazwę a. Równie dobrze moglibyśmy podstawić q = 2x albo pomarańcza = 2x i potem pisać sin pomarańcza = 1.

Podstawienie upraszcza więc wyrażenie, z którym akurat liczymy. Tym, że a jest w rzeczywistości równe 2x, zajmiemy się później.

Teraz rozwiązujemy więc równanie sin a = 1, w którym niewiadomą jest a. Szukamy, kiedy sinus przyjmuje wartość jeden. Wychodzi, że sinus przyjmuje wartość jeden dla wartości π/2 + 2Kπ. Rozwiązaniami równania sin a = 1 są więc elementy zbioru

$$ R = \left\{\frac{\pi}{2}+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\}. $$

Na koniec musimy jeszcze pamiętać o naszym podstawieniu — trzeba wrócić do pierwotnej niewiadomej. Wiemy, że rozwiązaniami równania sin a = 1 są elementy poprzedniego zbioru R. Tyle że my chcemy znać rozwiązania innego równania, sin 2x = 1. Wiemy przy tym, że a = 2x.

Spróbujmy wziąć ze zbioru rozwiązań R jedno konkretne, na przykład dla K = 1 dostajemy konkretne rozwiązanie a = π/2 + 2π. W tym punkcie równanie sin a = 1 jest spełnione. Ponieważ a = 2x, to zarazem zachodzi 2x = π/2 + 2π (po prostu zamiast a napisaliśmy 2x).

Nas jednak nie interesuje 2x, tylko wartość x, więc całe równanie dzielimy przez dwa. W ten sposób dostajemy x = π/4+π. Otrzymaliśmy więc jedno konkretne rozwiązanie równania sin 2x = 1.

Jeśli chcemy otrzymać wszystkie rozwiązania, musimy to samo przekształcenie wykonać ze wszystkimi elementami zbioru R. Układamy więc takie równanie:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2K\pi $$

i wyznaczamy x, czyli całe równanie dzielimy przez dwa:

$$ x = \frac{\pi}{4} + K\pi $$

To jest ostateczne rozwiązanie. Zapiszmy je jeszcze w postaci zbioru jako nowy zbiór R':

$$ R' = \left\{\frac{\pi}{4} + K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Poprawność rozwiązania możemy znowu sprawdzić graficznie. Na czerwono jest wykres funkcji sin 2x, a na zielono funkcji y = 1.

Jeśli za K podstawimy K = 0, otrzymamy x = π/4, co odpowiada punktowi C. Jeśli podstawimy K = 2, otrzymamy x = π/4 + 2π, co odpowiada punktowi E.

Wzory

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych często korzysta się z różnych wzorów, które warto znać. Niektóre są podstawowe, inne bardziej złożone. Wzory trygonometryczne przeniosły się na osobną stronę, więc zajrzyj tam.

Przykłady

1. Rozwiąż równanie sin (3x−π/2) = 0.

   Zastosujemy proste podstawienie a = 3x−π/2 i rozwiążemy równanie sin a = 0. Wiemy już, że sinus jest równy zeru dla a = Kπ. Wracamy więc do pierwotnej niewiadomej i rozwiązujemy równanie:

   $$ 3x-\frac{\pi}{2} = K\pi $$

   Najpierw przenosimy π/2 na prawą stronę, czyli do obu stron równania dodajemy π/2:

   $$ 3x = K\pi + \frac{\pi}{2} $$

   A teraz dzielimy równanie przez trzy:

   $$ x = \frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6} $$

   Wynikiem jest więc zbiór R₁ zdefiniowany tak:

   $$ R_1 = \left\{\frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6}|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Znowu rysunek:

   

   Dla K = 1 dostajemy x = π/3 + π/6 = π/2, czyli punkt E.

2. Rozwiąż równanie cos²x − sin x = 1.

   Najpierw skorzystamy ze wzoru i zamienimy cos² x na 1 − sin² x. Podstawiamy to do równania i dostajemy:

   $$\begin{eqnarray} 1-\sin^2x-\sin x &=& 1\\ \sin^2x+\sin x &=& 0 \end{eqnarray}$$

   Teraz wyłączamy sin x przed nawias:

   $$ \sin x (\sin(x) + 1) = 0 $$

   Ponieważ lewą stronę równania doprowadziliśmy do postaci iloczynu, a po prawej stronie mamy zero, rozwiążemy osobno równania sin x = 0 i sin(x) + 1 = 0. Cała lewa strona będzie bowiem równa zeru, jeśli przynajmniej jeden czynnik będzie równy zeru.

   Równanie sin x = 0 rozwiązaliśmy już kilka razy, rozwiązaniami są x postaci Kπ, gdzie K jest liczbą całkowitą.

   Drugie równanie, sin(x) + 1 = 0, przekształcamy do postaci sin(x) = −1. Sinus jest równy minus jeden dla wartości 3/2π + 2Kπ.

   Wszystkie elementy wynikowego zbioru R₂ otrzymamy jako sumę zbiorów.

   $$ R_2 = \left\{\frac32\pi + 2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Rysunek:

   

   Widzimy, że punkty A, C, D i F mają współrzędną x równą wielokrotności π, więc te punkty opisuje prawy zbiór w powyższej sumie. A jeśli w lewym zbiorze podstawimy za K wartość K = 0, otrzymamy x = 3π/2, co odpowiada punktowi E, a jeśli podstawimy K = −1, otrzymamy x = 3π/2 − 2π = −π/2, co odpowiada punktowi B.

3. Rozwiąż równanie cos² x − sin²x + cos x = 0.

   W pierwszym kroku zastosujemy wzór sin²x = 1−cos²x i rozpiszemy sinus kwadrat:

   $$\begin{eqnarray} \cos^2x-(1-\cos^2x)+\cos x = 0\\ \cos^2x -1+\cos^2x+\cos x = 0\\ \end{eqnarray}$$

   W kolejnym kroku redukujemy wyrazy podobne:

   $$ 2\cos^2x+\cos x-1=0 $$

   I na koniec robimy podstawienie a = cos x.

   $$ 2a^2+a-1=0 $$

   To już rozwiążemy jak zwykłe równanie kwadratowe. Wyniki:

   $$ a_1 = -1, a_2=\frac12 $$

   Na koniec wracamy od podstawienia do pierwotnej niewiadomej, rozwiązujemy dwa równania cos x = −1 i $\cos x = \frac12$, a otrzymane zbiory sumujemy. To już jest proste i robiliśmy to wyżej.

4. Rozwiąż równanie sin²x−cos²x = 1.

   Najpierw zastosujemy klasyczny wzór i wyrazimy cosinus za pomocą sinusa. Dostaniemy:

   $$ 2\sin^2x=2 $$

   Dzielimy przez dwa i odejmujemy jedynkę:

   $$ \sin^2x-1=0 $$

   Teraz stosujemy wzór a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$ (\sin(x) - 1)\cdot(\sin(x) + 1) = 0 $$

   Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zeru, gdy przynajmniej jedno z wyrażeń jest równe zeru. Kiedy sin x = 1, a kiedy sin x = −1, już wiemy. Rozwiązaniem równania trygonometrycznego jest:

   $$ R_4 = \left\{\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{3\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} = \left\{\pi/2+K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Rysunek: