Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zanim zajmiemy się wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias, omówimy wymnażanie nawiasów, bo bardzo się ono z wyłączaniem przed nawias wiąże. Można by nawet powiedzieć, że wyłączanie przed nawias to działanie dokładnie odwrotne do wymnażania nawiasów.

Wymnażanie nawiasu

Wymnażanie nawiasu to proste działanie, które pokażemy na przykładzie: obliczmy wartość wyrażenia 3 · (5 + 8). Mamy dwa sposoby. Możemy dodać to, co jest w nawiasie, i dostaniemy 3 · 13, bo 5 + 8 = 13.

Drugi sposób polega na tym, że nawias wymnożymy. Oznacza to, że weźmiemy liczbę przed nawiasem, czyli trójkę, i pomnożymy przez nią obie liczby w nawiasie. Znak plus w nawiasie zostaje. Dostaniemy więc:

$$ 3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8) $$

Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Dlaczego wymnażanie nawiasu działa

Dlaczego możemy sobie na to pozwolić, dlaczego wymnażanie działa? Wyobraźmy sobie iloczyn jako rozpisaną sumę. Jeśli na przykład napiszemy 3 · 7, mówimy w ten sposób, że chcemy trzy razy dodać liczbę siedem, czyli 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Tak samo możemy jednak rozpisać przykład z nawiasem: 3 · (5 + 8) to to samo co (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Ponieważ przy dodawaniu kolejność nie ma znaczenia, możemy usunąć nawiasy i przestawić piątki i ósemki obok siebie tak: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. I tu już widać, że to wyrażenie możemy zapisać za pomocą mnożenia tak: 3 · 5 + 3 · 8, czyli dokładnie to, co zrobiliśmy przy wymnażaniu.

Przykłady na wymnażanie

1. Wymnóż 5 · (4 + 7). Znowu po prostu mnożymy liczby w nawiasie przez piątkę i dostajemy 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Wymnóż 6 · (x + 4). Nie bój się niewiadomej i po prostu też pomnóż ją przez szóstkę. Dostajemy: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Wymnóż x · (4 + 173). Teraz mamy niewiadomą przed nawiasem, więc obie liczby w nawiasie mnożymy przez x. Dostajemy x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Wymnóż: 4x · (2x + 7). Teraz niewiadoma jest i przed nawiasem, i w nim, a przed nawiasem stoi na dodatek bardziej złożone wyrażenie. To też nie przeszkadza, zawartość nawiasu mnożymy przez 4x tak: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Proste wyłączanie przed nawias

Wyłączanie przed nawias to działanie odwrotne do wymnażania nawiasu. Na początku mamy na przykład wyrażenie 10x + 5. Jeśli znajdziemy jakąś liczbę, przez którą da się rozsądnie podzielić oba składniki, możemy tę liczbę wyłączyć przed nawias. W naszym wyrażeniu będzie to liczba 5, bo 10x : 5 = 2x i 5 : 5 = 1. Możemy więc napisać, że

$$ 10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1). $$

Gdy z powrotem wymnożymy nawias 5 · (2x + 1), dostaniemy znowu 10x + 5. Celem wyłączania przed nawias jest zwykle uproszczenie wyrażenia albo doprowadzenie go do postaci iloczynu, żeby dało się je skrócić w ułamku.

Wyłączanie niewiadomej przed nawias

Często przed nawias wyłącza się samą niewiadomą, nie musimy wyłączać tylko liczby. Jeśli więc mamy wyrażenie 3x² + 7x, możemy wyłączyć z niego x, czyli oba wyrazy podzielimy przez x, dodamy nawiasy i nawias pomnożymy przez x. Dostaniemy 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Zwykle staramy się wyłączyć przed nawias „jak najwięcej”, więc gdybyśmy mieli wyrażenie 8x² + 12x, moglibyśmy wyłączyć tylko x i dostać 8x² + 12x = x · (8x + 12), ale widzimy, że z nawiasu dałoby się jeszcze wyłączyć liczbę 4. Możemy to zrobić teraz, dodatkowo, i dostaniemy: x · (4 · (2x + 3)). Zewnętrzne nawiasy możemy usunąć i dostaniemy: 4x · (2x + 3).

Do tego samego wyniku doszlibyśmy jednak, gdybyśmy z wyjściowego wyrażenia 8x² + 12x od razu wyłączyli przed nawias wyrażenie 4x. Gdybyśmy to rozpisali, dostalibyśmy

$$ 8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 : 4x + 12x : 4x) = 4x \cdot (2x + 3). $$

Wyłączanie przed nawias w bardziej złożonych wyrażeniach

Do tej pory wyłączaliśmy przed nawias tylko z wyrażeń, które mają dwa składniki. Możemy to jednak robić także w dłuższych wyrażeniach. Na przykład z 7x³ + 5x² + 2x możemy wyłączyć x i dostaniemy x · (7x² + 5x + 2).

Nie musimy też zawsze wyłączać jakiejś ładnej liczby, wyłączyć możemy cokolwiek. Na przykład z wyrażenia 6x + 7 możemy wyłączyć liczbę 2, dostaniemy jednak nieładny wynik, bo oba wyrazy musimy podzielić przez dwa. Przy 6x wyjdzie to bez problemu, bo 6x : 2 = 3x, ale przy liczbie 7 już nie tak ładnie: 7 : 2 = 3,5. Dostaniemy więc wyrażenie: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Rozwiązane przykłady

• Wyłącz ładnie wspólny czynnik przed nawias w wyrażeniu 25x + 45. Na pierwszy rzut oka widać, że możemy wyłączyć liczbę 5, więc dostajemy 5 · (5x + 9).

• Uprość ułamek

  $$ \frac{3x^2+7x}{x}. $$

  Najpierw w liczniku ułamka wyłączymy x przed nawias. Dostaniemy więc w liczniku x · (3x + 7). Teraz możemy w całym ułamku skrócić x.

  $$ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 $$

• Wyłącz ładnie wspólny czynnik przed nawias w wyrażeniu −2x² − 8x. Tu po raz pierwszy mamy liczby ujemne. To wcale nie przeszkadza: tak jak wyłączaliśmy liczby dodatnie, możemy wyłączać ujemne. Możemy więc od razu wyłączyć −2x. Dostaniemy

  $$ -2x^2-8x = -2x (x + 4). $$