Zadania o wspólnej pracy
W zadaniach o wspólnej pracy występują zwykle dwie różne postacie, które wykonują tę samą pracę w różnym czasie. Zadanie polega na tym, żeby ustalić, jak długo będą tę pracę wykonywać, jeśli będą pracować razem.
Przykładowe zadanie
Wyobraź sobie, że grasz w jakąś grę, w której walczysz ze smokiem. Paladyn posieka smoka mieczem w 30 sekund, a Barbarzyńca rozgniecie go maczugą już w 20 sekund. Pytanie brzmi: w jakim czasie zabiliby smoka, gdyby Barbarzyńca z Paladynem walczyli przeciwko niemu razem? Ile „wspólnej pracy” muszą włożyć?
Zadanie rozwiążemy tak, że najpierw ustalimy, jak bardzo poszczególni nieustraszeni wojownicy zranią smoka w ciągu jednej sekundy. Ponieważ Paladyn zabije smoka w 30 sekund, to w ciągu jednej sekundy odbierze smokowi 1/30 życia, jedną trzydziestą punktów życia. Gdyby smok miał 180 punktów życia, to żeby Paladyn zabił go w trzydzieści sekund, musi mu co sekundę odebrać 180 : 30 = 6 punktów życia (to jedna trzydziesta jego punktów życia). Przy tym 180 : 30 to to samo co 180 · (1/30).
Barbarzyńca zabije go w 20 sekund, więc co sekundę odbierze smokowi 1/20 jego punktów życia. Temu samemu smokowi, który miałby 180 punktów życia, odbierałby więc co sekundę 180 : 20 = 9 punktów.
Paladyn odbiera więc smokowi w ciągu sekundy 1/30 jego punktów życia, Barbarzyńca 1/20. Teraz pytamy, ile sekund potrzeba, żeby ci panowie zabili go wspólnymi siłami? Możemy na to spojrzeć po kolei – ile punktów życia odebraliby smokowi w ciągu dwóch sekund?
$$ \frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac16 $$
Byłaby to jedna szósta jego punktów życia. Dodajemy 1/30 + 1/20, bo wojownicy walczą razem, i dodajemy to w sumie dwa razy, bo walczą dwie sekundy. Widzimy, że możemy to uogólnić: jeśli walczą x sekund, to odbiorą smokowi
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} $$
jego życia. Teraz zostaje już tylko jedno – smok zginie, gdy odbiorą mu całe życie. Całe życie przedstawia liczba 1, bo ułamek 1/30 oznacza jedną trzydziestą życia smoka – liczba 1 to więc całe życie smoka. Poprzednie wyrażenie po prostu przyrównamy do jedynki:
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} = 1 $$
i szukamy rozwiązania. Całe równanie pomnożymy przez 60, dzięki czemu dostaniemy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{30}+x\cdot\frac{60}{20} &=& 60\\ x\cdot\frac{6}{3}+x\cdot\frac{6}{2} &=& 60\\ 2x+3x &=& 60\\ 5x &=& 60\qquad/\cdot\frac15\\ x &=& 12 \end{eqnarray}$$
Wychodzi nam, że x = 12. To znaczy, że zabiją smoka w 12 sekund. Nieźle.
Możemy spróbować sprawdzić to, podstawiając konkretne liczby. Mieliśmy tu smoka ze 180 punktami życia, a wynik mówi, że razem zabiją go w 12 sekund. Paladyn odbiera temu smokowi 6 punktów na sekundę, Barbarzyńca 9. To znaczy, że Paladyn w ciągu 12 sekund odbierze smokowi łącznie 12 · 6 = 72 punkty, a Barbarzyńca 12 · 9 = 108 punktów. Razem odebrali mu 72 + 108 = 180 punktów, co zgadza się z tym, że odebrali mu całe życie.
Przejrzyj kolejne rozwiązane przykłady na wspólną pracę:
Przykłady
- Antoś bardzo chciałby kupić sobie nowy telefon. Umówił się z mamą, która powiedziała mu, że co tydzień będzie mu dawać kieszonkowe i po 60 tygodniach będzie miał akurat tyle pieniędzy, ile kosztuje wymarzony telefon. Ale Antoś nie urodził się wczoraj, więc poszedł też do taty. Ten również obiecał mu pieniądze i powiedział mu, że na nowy telefon będzie miał już po 30 tygodniach. Po jakim czasie Antoś będzie miał w rzeczywistości nowy telefon, jeśli będzie dostawał cotygodniowe kieszonkowe i od mamy, i od taty?
Od mamy Antoś dostanie co tydzień 1/60 ceny telefonu, od taty 1/30 ceny telefonu. Równanie ułożymy dokładnie tak samo jak w poprzednim przypadku:
$$ x\cdot\frac{1}{60}+x\cdot\frac{1}{30} = 1 $$
Wyrażenie x · 1/60 + x · 1/30 mówi nam, jaką część ceny telefonu Antoś zaoszczędzi po x tygodniach. Ponieważ pytamy, kiedy będzie miał akurat na ten telefon, przyrównujemy to wyrażenie do jedynki. Gdyby chciał kupić trzy telefony, po prawej stronie byłaby liczba trzy.
Rozwiążemy równanie. Najpierw pomnożymy je przez 60:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{60}+x\cdot\frac{60}{30} &=& 60\\ x\cdot\frac{1}{1}+x\cdot\frac{2}{1} &=& 60\\ x+2x &=& 60\\ 3x &=& 60\qquad /\cdot\frac13\\ x &=& 20 \end{eqnarray}$$
Wynik jest taki, że Antoś będzie miał nowy telefon po 20 tygodniach. Możemy to znowu sprawdzić, podstawiając prawdziwe wartości: gdyby telefon kosztował 3000 złotych, to od mamy dostawałby co tydzień 1/60 tej ceny, czyli 50 złotych. Od taty dostawałby 1/30 tej ceny, czyli 100 złotych. No, ma całkiem hojnych rodziców. W ciągu 20 tygodni dostałby od mamy 20 · 50 = 1000 złotych, a od taty 20 · 100 = 2000 złotych. Razem dostałby 1000 + 2000 = 3000 złotych.
- Do basenu prowadzą w sumie trzy rury. Jedna napełni basen w 100 minut, druga w 75 minut, a ostatnia w 50 minut. W jakim czasie napełni się basen, jeśli woda będzie płynąć wszystkimi trzema rurami?
Ten przykład jest znowu taki sam jak w poprzednich przypadkach, tylko zamiast dwóch uczestników wspólnej pracy mamy trzech. Równanie będzie więc wyglądać tak:
$$ x\cdot\frac{1}{100}+x\cdot\frac{1}{75}+x\cdot\frac{1}{50} = 1 $$
Równanie pomnożymy przez 150 i dalej je przekształcamy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{150}{100}+x\cdot\frac{150}{75}+x\cdot\frac{150}{50} &=& 150\\ x\cdot\frac{3}{2}+x\cdot\frac{2}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 150\\ \frac32x+2x+3x &=& 150\\ \frac32x+5x &=& 150\qquad /\cdot 2\\ 3x + 10x &=& 300\\ 13x &=& 300\qquad/\cdot\frac{1}{13}\\ x &=& \frac{300}{13} \end{eqnarray}$$
Ładniejszego wyniku już z tego nie dostaniemy, basen napełni się w 300/13 minuty, czyli w około 23 minuty.
- Firma „Koszę i Tnę” skosi łąkę w dziesięć godzin. Firma „Zrywam Fiołki Dynamitem” skosi łąkę w sześć godzin. W ile godzin te firmy skosiłyby dwie takie łąki, gdyby pracowały razem?
Ile obie firmy skoszą w ciągu x godzin? To już klasyczne wyrażenie:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} $$
Ponieważ jednak chcemy, żeby skosiły dwie łąki, po prawej stronie równania nie będzie 1, ale 2:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} = 2 $$
Dalej obliczenia przebiegają tak samo. Pomnożymy całe równanie przez 30 i przekształcamy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{30}{6}+x\cdot\frac{30}{10} &=& 60\\ x\cdot\frac{5}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 60\\ 5x+3x&=& 60\\ 8x&=& 60\qquad/ \cdot \frac18\\ x &=& \frac{60}{8}\\ x &=& \frac{15}{2}\\ x &=& 7{,}5 \end{eqnarray}$$
Obie łąki skosiłyby w siedem i pół godziny.
- Jedna kobieta urodzi dziecko po dziewięciu miesiącach. Po ilu miesiącach urodzi dziecko dziewięć kobiet?