Dzielenie liczb
Dzielenie liczb jest działaniem odwrotnym do mnożenia liczb. Jest też dobrym źródłem humoru, bo jak wszyscy wiedzą, nie możemy dzielić przez zero, bo spaliłby się nam zeszyt.
Czym jest dzielenie liczb
Dzielenie możemy sobie wyobrazić jako podział jakiejś dużej całości na równe mniejsze kawałki. Weźmy tatę, który musi pociąć deskę o długości 100 cm na pięć równych części. Jak długie będą poszczególne części?
Możemy podejść do tego od drugiej strony – jeśli dodamy długości wszystkich pięciu uciętych kawałków, musi nam wyjść z powrotem liczba 100. Jaka liczba to spełnia? To liczba 20, bo 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Zamiast dodawania możemy też użyć mnożenia i zapytać: jaka liczba pomnożona przez pięć da sto? Znowu liczba 20, bo 5 · 20 = 100.
Graficznie moglibyśmy to przedstawić jako podział odcinka o długości 100 na pięć równych części:
Gdy chcemy podzielić liczbę 100 przez liczbę 5, sprawdzamy, „ile razy piątka mieści się w stu”. Dzielenie zapisujemy albo za pomocą ukośnika: 100 / 5, albo za pomocą dwukropka: 100 : 5. W polskiej szkole używa się przede wszystkim dwukropka. Wynik dzielenia dwóch liczb nazywamy ilorazem. W naszych przykładach liczba 20 jest ilorazem liczb 100 i 5. Liczbę po lewej stronie nazywamy dzielną, a liczbę po prawej dzielnikiem. Dzielenie możemy też zapisać za pomocą ułamka: zamiast 100 : 5 możemy napisać $\frac{100}{5}$. Podsumowanie nazw:
$$ a : b = \frac{a}{b} = c $$
- a to dzielna,
- b to dzielnik,
- c to iloraz.
Definicja za pomocą mnożenia
Iloraz najprościej zdefiniować za pomocą mnożenia. Weźmy na przykład iloraz liczb 35 : 7. Jaki będzie wynik? Szukamy takiej liczby, która pomnożona przez 7 da liczbę 35. Gdybyśmy dzielili 48 : 8, szukalibyśmy takiej liczby, która pomnożona przez 8 da liczbę 48.
Wynikiem 35 : 7 jest więc liczba 5, bo 7 · 5 = 35. Wynikiem 48 : 8 jest liczba 6, bo 8 · 6 = 48.
Ogólnie, gdy dzielimy a : b, wynikiem jest liczba c, dla której b · c = a.
Choć wszystkie przykłady pokazywaliśmy na liczbach naturalnych, dzięki definicji za pomocą mnożenia możemy dzielić też dowolne inne liczby. Możemy na przykład znaleźć iloraz −85,76 : 6,7 w ten sposób, że znajdziemy liczbę x, dla której 6,7 · x = −85,76. Zachodzi to dla x = −12,8.
Zero możemy podzielić przez inną liczbę
Zero możemy podzielić przez jakąś liczbę, to wyrażenie ma sens: 0 : 15. W gruncie rzeczy mówimy w ten sposób, że chcemy podzielić zero na 15 równych części. Możemy to sobie wyobrazić tak, że nie mamy żadnego ciasta i to ciasto, którego nie mamy, chcemy podzielić na 15 kawałków – jak duże będą poszczególne kawałki? Zerowe, bo ciasta po prostu nie mamy. Albo wyobraź sobie, że masz w portfelu zero złotych i chcesz te zero złotych podzielić między troje dzieci. Ile dostanie każde dziecko? Figę z makiem, bo po prostu nic nie masz. Dlatego 0 : 15 = 0.
Zero możemy dzielić przez inną liczbę, ale nie możemy dzielić innej liczby przez zero. To wyrażenie nie ma sensu: 8 : 0.
Dlaczego jednak nie możemy dzielić przez zero?
Nie możemy dzielić przez zero, bo zabrania tego jedenaste przykazanie.
Są jednak i poważniejsze powody. Na razie zajmiemy się przypadkiem, w którym dzielna jest różna od zera – dzielenie ma postać a : 0, gdzie a ≠ 0. Wymienimy dwa powody:
- Spróbujmy zostać przy analogii z podziałem całości na mniejsze, równe części. Mamy 15 najgroźniejszych Pokémonów. Teraz chcemy je rozdzielić między zero dzieci. Ile Pokémonów dostanie każde dziecko?
Że co???
Tak, dobrze czytasz to zadanie, i tak, nie ma ono sensu. Nie możemy pytać, ile Pokémonów dostało każde dziecko, skoro nie mieliśmy żadnego dziecka, któremu moglibyśmy te Pokémony dać. Dlatego dzielenie przez zero też nie ma sensu i mówimy, że wyrażenie x : 0 jest nieokreślone.
- Dzielenie wprowadziliśmy za pomocą mnożenia. Gdy próbujemy dzielić przez zero, 15 : 0, szukamy jakiejś liczby x, dla której x · 0 = 15. Tylko że cokolwiek razy zero daje zero, więc nigdy nie znajdziemy x, dla którego to równanie byłoby prawdziwe.
A co z ilorazem 0 : 0?
Jest nieokreślony tak samo jak x : 0. Powody:
Tym razem mamy zero najgroźniejszych Pokémonów, które chcemy rozdzielić między zero dzieci. To znowu bezsensowne polecenie.
Według definicji dzielenia, gdy dzielimy 0 : 0, szukamy takiej liczby x, dla której x · 0 = 0. Rozwiązanie byśmy znaleźli, a ściślej: każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania. Czy za x podstawimy 4, 1, czy π, równanie będzie spełnione. Oczywiście nie może być tak, że wynikiem dzielenia jest cały zbiór liczb rzeczywistych, to nie ma sensu.
Musielibyśmy z całego zbioru wybrać jedną konkretną liczbę i powiedzieć, że właśnie ona jest wynikiem dzielenia 0 : 0. Tylko jaką? Powinno to być jeden? Osiem? Zero? Minus jeden? I dlaczego? Spróbujmy podać argumenty za zerem i za jedynką:
- Wiemy, że ułamek postaci x / x jest równy jeden. Na przykład 7 / 7 = 1 albo 3 / 3 = 1. Stąd moglibyśmy wywnioskować, że 0 / 0 powinniśmy zdefiniować tak, żeby 0 / 0 = 1.
- Spójrzmy na ten ciąg na pewno poprawnych ułamków. W każdym z nich będziemy dzielić zero przez liczbę, która coraz bardziej zbliża się do zera:
$$\begin{eqnarray} \frac{0}{1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}01} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}001} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}0001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0{,}0000000001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0} &=& 0?\\ \end{eqnarray}$$
Widzimy, że bez względu na to, jak bliską zera liczbą dzielimy, ciągle dostajemy jako iloraz zero. Stąd moglibyśmy wywnioskować, że 0 / 0 = 0.
Oba te argumenty brzmią sensownie jako sposób, jak zdefiniować iloraz 0 : 0. Tylko który z nich jest lepszy? Zresztą nawet gdybyśmy jeden z nich wybrali i ogłosili jedynym słusznym, i tak doszlibyśmy do sprzeczności z innymi częściami matematyki.
Dlatego dzielenie przez zero lepiej zostawić jako nieokreślone.
Ostateczny argument przeciwko dzieleniu przez zero
Jeśli poprzednie argumenty ci nie wystarczyły, może przekona cię poniższa dokumentacja fotograficzna przypadku, gdy ktoś naprawdę próbował dzielić przez zero:
