Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne to ułamek, który w liczniku i w mianowniku ma jakiś wielomian. Wyrażenie wymierne zwykle staramy się uprościć do jakiegoś krótszego, ładniejszego wyrażenia.

Podstawy

Jeszcze raz: wyrażenie wymierne ma taką postać:

$$\frac{\mbox{wielomian}}{\mbox{wielomian}}$$

Przykładem wyrażenia wymiernego może więc być takie wyrażenie:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Zadanie polega na tym, żeby to wyrażenie uprościć. Przy upraszczaniu korzystamy z tych samych sposobów co przy przekształcaniu wielomianów, więc przyda się na przykład wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i różne wzory skróconego mnożenia. Następny rozdział zbiera najczęściej używane przekształcenia.

Wyrażenie wymierne powinno mieć w mianowniku jakąś zmienną. O takim wyrażeniu na przykład nie mówimy, że jest wyrażeniem wymiernym:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Przy wyrażeniu wymiernym zwykle ustalamy też założenia, czyli warunki, przy których wyrażenie ma sens (wyznaczamy jego dziedzinę). W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być równy zeru, bo jak wiemy, przez zero się nie dzieli.

Sposoby

Przy przekształcaniu wyrażeń używamy wielu sposobów, spróbuję zebrać te najczęstsze. Przede wszystkim jest to skracanie ułamków. Jeśli więc w liczniku i w mianowniku mamy wyrażenia, które tylko mnożymy, możemy skracać:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Tutaj skróciliśmy zmienną a. Gdyby ułamek wyglądał tak

$$\frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$$

to skracać nie możemy. Licznik jest sumą, więc skracanie jest niedozwolone. Często się zdarza, że mianownik albo licznik ułamka jest co prawda sumą, ale możemy w tym wyrażeniu coś wyłączyć przed nawias i wtedy skracać już możemy. Na przykład w ułamku

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

licznik jest sumą, ale możemy wyłączyć a przed nawias, a potem skrócić

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Częstym przekształceniem jest też rozłożenie czegoś według jakiegoś wzoru. Wyżej mieliśmy wyrażenie wymierne

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Jeśli do licznika zastosujemy wzór

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

dostaniemy nowe wyrażenie wymierne

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

i tu już możemy skrócić cały nawias (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Do tego oczywiście różne dodawanie i mnożenie wielomianów, działania na potęgach, dodawanie ułamków itd.

Przykład pierwszy

Treść zadania:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Widzimy, że w liczniku i w mianowniku możemy wyłączyć przed nawias dwójkę, którą potem skrócimy:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

W liczniku możemy jeszcze wyłączyć przed nawias trójkę:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Całe wyrażenie a + 2b możemy skrócić i zostanie nam tylko trójka:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$$

Założenia dla tego wyrażenia wymiernego:

$$a+2b\ne0$$

Przykład drugi

Treść zadania:

$$\left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

W pierwszym kroku odejmiemy ułamki w wewnętrznym nawiasie:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

Następnie wymnożymy nawiasy w mianowniku. Bystrzejsi uczniowie zauważą, że możemy zastosować wzór na a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

W mianowniku pierwszego ułamka mamy to samo wyrażenie co w liczniku drugiego ułamka, a ponieważ te ułamki mnożymy, możemy przez to wyrażenie skrócić:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Teraz musimy się trochę napracować: wymnożyć nawiasy w liczniku, zredukować wyrazy podobne, a na koniec po prostu skrócić:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Założenia ustalamy na podstawie treści zadania. Są tam w sumie trzy ułamki i żaden z mianowników nie może być równy zeru.

$$\begin{eqnarray} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Przykład trzeci

Treść kolejnego wyrażenia wymiernego:

$$\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$$

Najpierw znowu mozolnie dodajemy i odejmujemy wyrażenia w nawiasach. Pierwsza różnica będzie prosta, bo oba ułamki mają ten sam mianownik.

$$\left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

wymnażamy i dodajemy wyrażenia w licznikach:

$$\left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

W pierwszym ułamku skracamy zmienną b, a dwójkę zapisujemy jako ułamek o mianowniku a (rozszerzamy $\frac21$ przez a), żeby dało się ją dodać do pierwszego ułamka:

$$\left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Dodajemy ułamki w pierwszym nawiasie, a w liczniku drugiego ułamka wyłączamy a przed nawias.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

No i teraz możemy skrócić a:

$$\frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Teraz już tylko mnożymy wyrażenie po lewej przez ułamek.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Z pierwszego nawiasu wyłączamy dwójkę:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Teraz możemy skrócić (1 + a) (w mianowniku jest to samo wyrażenie, tylko zapisane odwrotnie: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

I to jest ostateczne, uproszczone wyrażenie wymierne, z tym wyrażeniem nie da się już zrobić nic rozsądnego. Założenia:

$$\begin{eqnarray} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Dzielenie wielomianów

Wyrażenia wymierne możesz też uprościć za pomocą algorytmu dzielenia wielomianu przez wielomian. Może się to opłacić wtedy, gdy nie da się użyć żadnego klasycznego sposobu przekształcania wyrażeń.