Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie to najbardziej podstawowe działania matematyczne, których potrzebujesz także w codziennym życiu. Choć dodawać można wiele różnych struktur, tutaj zajmiemy się tylko dodawaniem liczb całkowitych.

Dodawanie

Dodawanie oznaczamy znakiem plus +. Podczas dodawania dodajemy do siebie składniki, więc jeśli chcemy dodać 2 + 3, to zarówno dwójka, jak i trójka są składnikami. Wynik nazywamy sumą, czyli piątka w wyrażeniu 2 + 3 = 5 jest sumą.

Dodawać możemy praktycznie dowolne liczby, czy to naturalne, takie jak 1, 5, 157, czy ujemne, jak -4, -74. Możemy też dodawać liczby wymierne, czyli ułamki, liczby rzeczywiste, na przykład π, a w końcu także liczby zespolone. Dodawać można również inne struktury – macierze albo wektory.

Dodawanie tłumaczy się zwykle na przykładzie jabłek – jeśli masz w koszyku trzy jabłka i ktoś da ci jeszcze cztery, ile będziesz ich mieć? Będziesz mieć 3 + 4 = 7 jabłek.

Jak dodawać duże liczby

Gdybym kazał ci dodać 17564 i 3272, pewnie nie podałbyś wyniku tak od razu z głowy. Dlatego używa się albo kalkulatora, albo kartki i ołówka. Jak wystukać to na kalkulatorze, uczyć cię nie będę, skupmy się na dodawaniu pisemnym.

Liczby, które chcemy dodać, zapisujemy jedną pod drugą i wyrównujemy je do prawej – tak, żeby te same rzędy (dziesiątki, setki, …) były pod sobą. Pod obiema liczbami rysujemy poziomą kreskę. Wygląda to tak:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline \end{array}$$

Teraz dodajemy cyfry, które stoją pod sobą. Jeśli ich suma jest mniejsza od dziesięciu, po prostu wpisujemy ją pod kreskę. Zaczynamy od prawej strony, od najniższego rzędu. Najpierw więc dodajemy 4 + 2, co daje sześć. Sześć jest mniejsze od dziesięciu, więc pod kreską piszemy szóstkę:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&&6 \end{array}$$

Idziemy dalej i dodajemy 6 + 7. To daje 13, czyli już więcej niż dziesięć. W takiej sytuacji piszemy pod kreską tylko cyfrę jedności, czyli trójkę (od trzynastu odejmujemy dziesięć).

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&3&6 \end{array}$$

Co się stało z jedynką, którą odcięliśmy? I co ona oznacza? Liczymy teraz w drugiej kolumnie od prawej, która w liczbie odpowiada dziesiątkom. Tak naprawdę dodawaliśmy więc dziesiątki, czyli 60 + 70 = 130. Postanowiliśmy zachować liczbę 30, a 100 odłożyliśmy na później. Na kiedy? Na następny krok, do następnej kolumny. W następnym kroku dodajemy cyfry odpowiadające setkom, a my mamy jedną dodatkową setkę, która powstała przy dodawaniu dziesiątek. Najprościej więc doliczyć tę setkę w następnym kroku. W polskiej szkole zapisuje się taką „pamiętaną” jedynkę małą cyfrą nad następną kolumną, żeby o niej nie zapomnieć.

Zamiast dodawać w następnym kroku 5 + 2, dodamy więc 5 + 2 + 1, gdzie jedynka oznacza setkę przeniesioną z poprzedniego kroku. Wynik to osiem, czyli mniej niż dziesięć. Pod kreską piszemy ósemkę.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&8&3&6 \end{array}$$

Do następnego kroku nie przechodzi żaden dodatkowy tysiąc, więc dodajemy tylko 7 + 3 = 10. Ta liczba nie jest mniejsza od dziesięciu, więc pod kreską piszemy jej ostatnią cyfrę, a jedynka idzie dalej. Pod kreską piszemy zatem zero, a do następnego kroku zachowujemy jedną dodatkową dziesiątkę tysięcy.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &0&8&3&6 \end{array}$$

W ostatniej kolumnie mamy cyfrę już tylko w pierwszym wierszu. W drugim wierszu wyobrazimy sobie więc zero i dodamy 1 + 0, nie zapominając o jedynce z poprzedniego kroku: 1 + 0 + 1 = 2. Pod kreską piszemy dwójkę.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline 2&0&8&3&6 \end{array}$$

Na tym algorytm się kończy i mamy sumę liczb 17564 + 3272.

Animacja dodawania pisemnego

W poniższe pola możesz wpisać dwie liczby naturalne, a potem już tylko podziwiać animację całego postępowania.

Graficzna interpretacja dodawania

Dodawanie możemy przedstawić graficznie na osi liczbowej. Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczone są wszystkie liczby. Może wyglądać tak:

Gdybyśmy chcieli na tej osi liczbowej zilustrować dodawanie dwóch liczb, na przykład 3+4, postąpilibyśmy tak: narysowalibyśmy odcinek, który zaczyna się w początku osi, czyli w zerze, a kończy w trójce. Przy dodawaniu odcinek kierujemy w prawo od punktu, w którym zaczęliśmy. O tak:

Teraz odkładamy na osi liczbowej czwórkę. Tym razem jednak zaczynamy w liczbie trzy i stamtąd prowadzimy w prawo odcinek o długości cztery. O tak:

Punkt, w którym skończył się drugi, zielony odcinek, oznacza wynik: 3 + 4 = 7.

Odejmowanie

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Jeśli do jakiejś liczby a dodasz liczbę b, a potem z powrotem odejmiesz liczbę b, dostaniesz z powrotem liczbę a. Odejmowanie pisemne pokażemy na przykładzie 158 748 − 99 575. Tak samo jak przy dodawaniu zapisujemy liczby jedną pod drugą:

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline \end{array}$$

Wynik będziemy pisać pod kreską, tak samo jak przy dodawaniu. Idziemy od prawej, od najniższych rzędów, więc najpierw liczymy jedności. Jeśli górna cyfra (z odjemnej) nie jest mniejsza od dolnej (z odjemnika), piszemy pod kreską różnicę górna cyfra − dolna cyfra. W rzędzie jedności górna cyfra mniejsza nie jest, więc piszemy różnicę 8 − 5 = 3.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&&3 \end{array}$$

Przesuwamy się o jedną cyfrę w lewo, do rzędu dziesiątek. Tu górna cyfra jest już mniejsza od dolnej: 4 to mniej niż 7. W takiej sytuacji „pożyczamy” jedną jednostkę z następnego rzędu odjemnej, czyli jedną setkę. Ta setka to dziesięć dziesiątek, więc z górnej czwórki robi się 14 i liczymy 14 − 7 = 7. W zeszycie przekreśla się przy tym górną siódemkę w rzędzie setek i pisze nad nią szóstkę, bo jedną setkę już wykorzystaliśmy.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&7&3 \end{array}$$

W rzędzie setek musimy pamiętać o tej pożyczce: górna cyfra to już nie siedem, tylko sześć. Sześć nie jest mniejsze od dolnej piątki, więc odejmujemy zwyczajnie: (7 − 1)−5 = 6 − 5 = 1.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&1&7&3 \end{array}$$

W rzędzie setek nic nie pożyczaliśmy, więc górna ósemka w rzędzie tysięcy zostaje bez zmian. Jest jednak mniejsza od dolnej dziewiątki, więc znowu pożyczamy – tym razem jedną dziesiątkę tysięcy. Górna piątka zmienia się na czwórkę, a z ósemki robi się 18. Dostajemy różnicę 8 + 10 − 9 = 9.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&9&1&7&3 \end{array}$$

W rzędzie dziesiątek tysięcy z górnej piątki po pożyczce została czwórka, a ta jest mniejsza od dolnej dziewiątki. Pożyczamy więc z ostatniego rzędu (górna jedynka zmienia się na zero) i liczymy: (5 − 1)+10 − 9 = 14 − 9 = 5.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&5&9&1&7&3 \end{array}$$

W ostatnim rzędzie z górnej jedynki po pożyczce zostało 1 − 1 = 0, a w odjemniku nie ma tam żadnej cyfry, więc przyjmujemy zero. Wychodzi 0 − 0 = 0.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &0&5&9&1&7&3 \end{array}$$

I mamy wynik. Zero na początku możemy pominąć i napisać: 158 748 − 99 575 = 59 173.

Zamiast zmniejszać o jeden cyfrę odjemnej, z której pożyczamy, można też o jeden zwiększyć cyfrę odjemnika w tym samym rzędzie – w obu przypadkach różnica w tym rzędzie wychodzi taka sama.

Graficzna interpretacja odejmowania

Odejmowanie, tak samo jak dodawanie, możemy przedstawić na osi liczbowej. Zmienia się tylko kierunek, w którym odkładamy odcinek: nie w prawo od bieżącego punktu, ale w lewo. Gdybyśmy mieli obliczyć 2 − 5, postąpilibyśmy tak. Najpierw odłożylibyśmy na osi liczbowej dwójkę, w kierunku dodatnim, bo dwójka jest dodatnia. Odejmujemy piątkę, ją odłożymy w przeciwną stronę.

Teraz odkładamy na osi drugi odcinek, który będzie przedstawiał minus pięć. Zaczynamy w punkcie, w którym skończyliśmy, czyli w dwójce. Odcinek rysujemy jednak z powrotem, w lewo.