Mnożenie

Mnożenie to podstawowe działanie, z którym spotykamy się na co dzień.

Czym jest mnożenie

Mnożenie oznaczamy albo kropką (umieszczoną w połowie wysokości wiersza), albo krzyżykiem. Gdybyśmy chcieli zapisać trzy razy siedem, napisalibyśmy 3 · 7 albo 3 × 7. W polskiej szkole używa się przede wszystkim kropki. Czasem zamiast krzyżyka pisze się po prostu literę x (iks): 3 x 7.

Mnożenie liczb naturalnych, czyli liczb 1, 2, 3, …, możemy łatwo zamienić na dodawanie. Weźmy na przykład 4 · 6 = ?, cztery razy sześć. Na zwykły język moglibyśmy to przełożyć tak: „idź cztery razy do Franka i za każdym razem daj mu sześć prztyczków w nos”. Ile prztyczków dostanie w sumie? Za pierwszym razem dostanie sześć, za drugim też, za trzecim też i za czwartym też. Razem dostał 6 + 6 + 6 + 6 = 24 prztyczki. Żeby nie trzeba było zawsze wypisywać tylu jednakowych liczb do dodania, wprowadzono właśnie mnożenie: gdy chcemy dodać cztery szóstki, zamiast 6 + 6 + 6 + 6 możemy napisać tylko 4 × 6.

Zauważ, że nie ma znaczenia, czy dodamy cztery szóstki, czy sześć czwórek. Zawsze dostaniemy ten sam wynik.

$$ 4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 $$

Wynik mnożenia nazywamy iloczynem, więc mówimy „iloczyn liczb 4 i 6 wynosi 24”. Liczby, które mnożymy, w tym przypadku 4 i 6, nazywamy czynnikami.

Graficzna interpretacja mnożenia

Graficznie możemy przedstawić mnożenie jako pole prostokąta. Zostańmy przy przykładzie 4 · 6. Narysujemy prostokąt, który ma jeden bok o długości 4, a drugi o długości 6. Prostokąt będzie wyglądał tak:

Teraz obliczymy pole tego prostokąta, czyli policzymy wszystkie kwadraciki, które się w nim znajdują.

Widzimy, że kwadracików jest dokładnie 24. Dlaczego? Bo ułożyliśmy na sobie cztery rzędy po sześć kwadracików, więc wynik to znowu suma 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Mnożenie przez zero

Jeśli dowolną liczbę pomnożymy przez zero, wynikiem będzie znowu zero. Uzasadnienie jest proste: jeśli trzymać się poprzednich przykładów, to tak, jakbyśmy powiedzieli „nie idź do Franka ani razu i daj mu sześć prztyczków”. Franek tym razem może być spokojny, bo co prawda ma dostać sześć prztyczków, ale nie ma ich dostać ani razu.

Można to pokazać też graficznie. Rysunek przedstawiający iloczyn 5 · 0 wyglądałby tak:

Ponieważ drugi czynnik jest równy zero, jeden bok prostokąta ma długość zero, przez co prostokąt zmienia się w odcinek, który nie ma żadnego pola.

Kolejność wykonywania działań

Mnożenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem. Oznacza to, że gdy masz przykład 2 + 3 · 4, najpierw obliczasz iloczyn 3 · 4 = 12, a dopiero potem sumę. Po obliczeniu iloczynu mamy więc 2 + 12, a to jest równe 14.

Gdybyś najpierw obliczył sumę, dostałbyś inny wynik: 2 + 3 = 5, a potem 5 · 4 = 20. Ten wynik jest zły.

Tak samo z odejmowaniem, więc 10 − 8 · 2 + 7 liczymy tak, jakby były tam nawiasy: 10 − (8 · 2) + 7. Czyli: 10 − 16 + 7 = 1.

Uważaj na podchwytliwe zagadki, które często pojawiają się na Facebooku. Są tam przykłady typu 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Mnóstwo ludzi widzi mnożenie przez zero i od razu pisze, że wynik to zero, ale to zły wynik. Ponieważ mnożenie ma pierwszeństwo, ten przykład jest równoważny przykładowi 1 + 1 + (1 · 0) = ?.

Najpierw więc obliczamy iloczyn w nawiasie: 1 + 1 + 0 = ?, a teraz dodajemy: 1 + 1 + 0 = 2. Poprawny wynik to 2, a nie 0.

Najbardziej zdradliwe jest to, że jeśli masz jakiś prostszy kalkulator, to on też wypluje wynik zero. Dlaczego? Bo do prostego kalkulatora nie wpisujesz całego wyrażenia, tylko wprowadzasz je po kawałku, a kalkulator pracuje z wynikiem pośrednim. Jeśli wystukasz na takim kalkulatorze 1 + 1 + 1 · 0, kalkulator najpierw obliczy 1 + 1 = 2, potem 2 + 1 = 3, bo pamięta tylko wynik pośredni 2, a na koniec obliczy 3 · 0 = 0. Kalkulator obliczył więc tak naprawdę przykład (((1 + 1) + 1) · 0).

Niektóre kalkulatory radzą sobie z kolejnością działań, niektóre pozwalają wpisać cały przykład naraz i wtedy obliczą go poprawnie. Jeśli twój akurat tego nie potrafi, pamiętaj o tym.

O kolejności wykonywania działań możesz przeczytać osobny artykuł.

Tabliczka mnożenia

Do dalszego liczenia warto zapamiętać całą tabliczkę mnożenia, czyli wszystkie iloczyny liczb od 1 do 10:

Najpierw tabliczka mnożenia od jednego do pięciu:

$$ \begin{array}{lllll} 1 \cdot 1 = 1&2 \cdot 1 = 2&3 \cdot 1 = 3&4 \cdot 1 = 4&5 \cdot 1 = 5 \\ 1 \cdot 2 = 2&2 \cdot 2 = 4&3 \cdot 2 = 6&4 \cdot 2 = 8&5 \cdot 2 = 10 \\ 1 \cdot 3 = 3&2 \cdot 3 = 6&3 \cdot 3 = 9&4 \cdot 3 = 12&5 \cdot 3 = 15 \\ 1 \cdot 4 = 4&2 \cdot 4 = 8&3 \cdot 4 = 12&4 \cdot 4 = 16&5 \cdot 4 = 20 \\ 1 \cdot 5 = 5&2 \cdot 5 = 10&3 \cdot 5 = 15&4 \cdot 5 = 20&5 \cdot 5 = 25 \\ 1 \cdot 6 = 6&2 \cdot 6 = 12&3 \cdot 6 = 18&4 \cdot 6 = 24&5 \cdot 6 = 30 \\ 1 \cdot 7 = 7&2 \cdot 7 = 14&3 \cdot 7 = 21&4 \cdot 7 = 28&5 \cdot 7 = 35 \\ 1 \cdot 8 = 8&2 \cdot 8 = 16&3 \cdot 8 = 24&4 \cdot 8 = 32&5 \cdot 8 = 40 \\ 1 \cdot 9 = 9&2 \cdot 9 = 18&3 \cdot 9 = 27&4 \cdot 9 = 36&5 \cdot 9 = 45 \\ 1 \cdot 10 = 10&2 \cdot 10 = 20&3 \cdot 10 = 30&4 \cdot 10 = 40&5 \cdot 10 = 50 \\ \end{array} $$

A teraz od sześciu do dziesięciu:

$$ \begin{array}{lllll} 6 \cdot 1 = 6&7 \cdot 1 = 7&8 \cdot 1 = 8&9 \cdot 1 = 9&10 \cdot 1 = 10 \\ 6 \cdot 2 = 12&7 \cdot 2 = 14&8 \cdot 2 = 16&9 \cdot 2 = 18&10 \cdot 2 = 20 \\ 6 \cdot 3 = 18&7 \cdot 3 = 21&8 \cdot 3 = 24&9 \cdot 3 = 27&10 \cdot 3 = 30 \\ 6 \cdot 4 = 24&7 \cdot 4 = 28&8 \cdot 4 = 32&9 \cdot 4 = 36&10 \cdot 4 = 40 \\ 6 \cdot 5 = 30&7 \cdot 5 = 35&8 \cdot 5 = 40&9 \cdot 5 = 45&10 \cdot 5 = 50 \\ 6 \cdot 6 = 36&7 \cdot 6 = 42&8 \cdot 6 = 48&9 \cdot 6 = 54&10 \cdot 6 = 60 \\ 6 \cdot 7 = 42&7 \cdot 7 = 49&8 \cdot 7 = 56&9 \cdot 7 = 63&10 \cdot 7 = 70 \\ 6 \cdot 8 = 48&7 \cdot 8 = 56&8 \cdot 8 = 64&9 \cdot 8 = 72&10 \cdot 8 = 80 \\ 6 \cdot 9 = 54&7 \cdot 9 = 63&8 \cdot 9 = 72&9 \cdot 9 = 81&10 \cdot 9 = 90 \\ 6 \cdot 10 = 60&7 \cdot 10 = 70&8 \cdot 10 = 80&9 \cdot 10 = 90&10 \cdot 10 = 100 \\ \end{array} $$