Wielomiany

Wielomian to wyrażenie, w którym występuje zmienna x oraz zwykłe działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie o wykładniku całkowitym nieujemnym. Wielomiany możemy potem dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić i podnosić do potęgi.

Podstawowe zależności

Przykładem prostego wielomianu może być wielomian:

$$2x^2+5x-12$$

Ogólnie wielomian możemy zapisać tak:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

gdzie liczby rzeczywiste stojące przed x, czyli a_n itd., nazywamy współczynnikami, a n nazywamy stopniem wielomianu. Liczba n to najwyższa potęga w wielomianie, przy której a_n≠0. Gdyby a_n było równe zeru, to w zasadzie usunęlibyśmy zmienną x, do której ten współczynnik należy, bo zero razy cokolwiek daje zero:

$$0\cdot x^3=0.$$

W przypadku pierwszego wielomianu stopień wielomianu wynosi więc dwa, bo najwyższa potęga zmiennej x z niezerowym współczynnikiem to dwa. Dla innego wielomianu

$$7x^2+5x^4+15x$$

stopień wielomianu wynosi 4 (najwyższy wykładnik to 4). Wielomiany zwykle zapisujemy według malejących wykładników, żeby na pierwszym miejscu stał wyraz z najwyższą potęgą. Poprzedni wielomian możemy więc zapisać tak:

$$5x^4+7x^2+15x.$$

Widzimy, że w wielomianie brakuje wyrazów, w których zmienna miałaby wykładnik trzy i zero. To wcale nie przeszkadza, po prostu wyobrażamy sobie, że współczynnik przy tych wyrazach jest równy zeru. Możemy bowiem napisać

$$5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.$$

Mamy już wszystkie wyrazy, ale wielomian stał się niepotrzebnie nieczytelny. Wyrazy z zerowym współczynnikiem zwykle więc pomijamy.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodawanie i odejmowanie wielomianów to całkiem prosta sprawa. Zawsze dodajemy albo odejmujemy tylko współczynniki przy wyrazach o tym samym wykładniku. Zachodzi więc

$$ax^n+bx^n=(a+b)x^n.$$

Prosty przykład:

$$3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2$$

Jeśli chcemy dodać dłuższe wielomiany, zawsze musimy wybierać wyrazy o tym samym wykładniku zmiennej.

$$\begin{eqnarray} (7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) =\\ =(7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x. \end{eqnarray}$$

Jeśli wyraz o danym wykładniku w jednym z wielomianów nie występuje, przepisujemy go bez zmian (wyobraź sobie, że w drugim wielomianie taki wyraz jest, tylko ze współczynnikiem zero).

$$(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3$$

Odejmowanie wielomianów działa tak samo jak dodawanie, tylko drugi wielomian mnożymy przez minus jeden, czyli zmieniamy wszystkie jego znaki. Oto przykład:

$$(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)$$

A to jest już zwykłe dodawanie wielomianów, więc dodajemy jak zawsze:

$$(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x$$

Przypominam, że jeśli w odejmowanym wielomianie jest wyraz ujemny, to po tym przekształceniu staje się dodatni.

$$\begin{eqnarray} &&(x^2+2x)-(3x^2-10x)=\\ &=&(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=\\ &=&-2x^2+12x \end{eqnarray}$$

Mnożenie wielomianów

Przy mnożeniu wielomianów mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu. Współczynniki mnożymy normalnie, jak zwykłe liczby rzeczywiste. Wykładniki zmiennych natomiast tylko dodajemy, zgodnie z zasadami działań na potęgach. Oto przykład:

$$(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3$$

W tym przykładzie drugi czynnik był jednomianem, więc nie pokazał dobrze mnożenia „każdy przez każdy”. Oto trochę większy przykład:

$$\begin{eqnarray} &&(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1} \end{eqnarray}$$

Jeśli w wielomianie pojawia się znak minus, to normalnie uwzględniamy go przy mnożeniu.

$$\begin{eqnarray} &&(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\ &+&(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2 \end{eqnarray}$$

Przekształcanie wielomianów

Przekształcając wielomian, zwykle chcemy, żeby stał się prostszy. Używamy do tego rozszerzania, skracania, wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, wzorów skróconego mnożenia i podobnych sposobów. Te wzory warto znać. Niektóre z nich będziemy tu stosować i przedstawię je po kolei. Klasycznym wzorem, którego się używa, jest wzór

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Jeśli zastanawiasz się, skąd ten wzór się wziął, wystarczy wymnożyć nawiasy.

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ &=&a^2+ab+ba+b^2\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$$

Zaczniemy od jakiegoś prostego przykładu.

$$\begin{eqnarray} &&(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=\\ &=&a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\ &=&2a^2+5b^2 \end{eqnarray}$$

Oba nawiasy po lewej stronie wymnożyliśmy według wzoru, który podałem wyżej. Przypominam, że drugi nawias rozpisaliśmy jako

$$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.$$

Kolejnym klasycznym wzorem jest

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

Teraz drugi przykład, tym razem z ułamkiem. W liczniku i w mianowniku są wielomiany, a my spróbujemy je przekształcić tak, żeby cały ułamek dało się ładnie skrócić. W pierwszym kroku w liczniku zastosujemy pierwszy wzór, tylko w odwrotną stronę. W mianowniku zastosujemy drugi wzór. Na końcu już tylko skrócimy (a + b).

$$\begin{eqnarray} \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}&=&\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{a+b}{a-b} \end{eqnarray}$$

W trzecim przykładzie spróbujemy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. W liczniku najpierw wyłączymy przed nawias 3a³, a potem rozłożymy nawias (4a² − 1) według wzoru na a² − b², korzystając z tego, że

$$1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).$$

W mianowniku najpierw po prostu wymnożymy dwa pierwsze wyrazy, też wyłączymy przed nawias 3a³ i na koniec wszystko skrócimy.

$$\begin{eqnarray} \frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}&=&\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}\\ &=&\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}\\ &=&2a-1 \end{eqnarray}$$