Дистрибутивність

Дистрибутивність (розподільна властивість) — це властивість двох бінарних операцій, наприклад додавання та множення. У випадку множення й додавання дистрибутивність означає, що можна «розкрити дужки». Наприклад, якщо маємо вираз

$$2\cdot(3+4)$$

то знаємо, що можемо розкрити дужки і отримати інший вираз

$$2\cdot(3+4) = 2\cdot3+2\cdot4$$

Обидва вирази дають однаковий результат — число 14. Розкрити дужки ми могли тому, що операція множення на множині дійсних чисел дистрибутивна відносно операції додавання. Загалом, якщо маємо дві операції · і +, то кажемо, що операція · на множині M дистрибутивна відносно операції +, якщо виконуються рівності

$$\begin{eqnarray} a\cdot(b+c) &=& (a\cdot b) + (a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a &=& (b\cdot a) + (c\cdot a) \end{eqnarray}$$

для всіх a, b, c ∈ M. Іншим прикладом дистрибутивних операцій є операції з логіки висловлень — кон'юнкція ∧ і диз'юнкція ∨. Уявімо, що маємо висловлення A, B і C. Якщо сказати «A і водночас (B або C)», запишемо це так:

$$A \wedge (B \vee C)$$

А оскільки операція кон'юнкції дистрибутивна відносно операції диз'юнкції, одночасно виконується й

$$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$

Тобто словами: «(A і водночас B) або (A і водночас C)». Щоб мати й приклад операцій, які дистрибутивними не є, візьмімо, наприклад, додавання та віднімання:

$$10-(5+3)$$

Правильний результат, звісно, 2, бо після додавання в дужці отримаємо 10 − 8, тобто 2. Якби ми застосували до цього обчислення правило дистрибутивності, то отримали б вираз:

$$(10-5)+(10-3)$$

Після обчислення дужок мали б 5 + 7, тобто 12. Бачимо, що результат неправильний, тож операції додавання та віднімання дистрибутивними не є.

Інші приклади: деякі операції з матрицями задовольняють властивість дистрибутивності. Вектори у векторному просторі теж. Операції в полі мають бути дистрибутивними.