Асоціативність

Асоціативність (сполучна властивість) — це властивість операцій, таких як, наприклад, додавання або множення. Придивись до двох записів додавання:

$$(1 + 2) + 3\qquad \qquad 1 + (2 + 3)$$

Вирази відрізняються лише тим, де стоїть дужка. А чи відрізняються результати? Обидва вирази дають однаковий результат: сума завжди дорівнює 6. Якщо розташування дужок не впливає на результат, кажуть, що операція асоціативна. Точніше, операція $a \circ b$ асоціативна, якщо виконується рівність

$$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$$

Ще одна асоціативна операція — множення, бо

$$(2\cdot3)\cdot4 = 2\cdot(3\cdot4)=24$$

Операції, які не є асоціативними

Віднімання асоціативним не є. Для прикладу візьмімо вираз (10 − 4) − 3. Спершу обчислимо різницю в дужках і отримаємо 6 − 3, тобто 3. Але якщо спробуємо обчислити 10 − (4 − 3), то знову спершу обчислимо вміст дужки й отримаємо 10 − 1, тобто 9. Отже, операція віднімання не асоціативна.

Так само не асоціативна операція ділення. Для прикладу візьмімо вираз (64 : 4) : 2. Спершу обчислимо дужку й отримаємо 16 : 2, тобто 8. Але якщо розташуємо дужку в іншому місці, матимемо 64 : (4 : 2), а після обчислення дужки 64 : 2, тобто 32. Отже, операція ділення не асоціативна.

Ще одна типова неасоціативна операція — піднесення до степеня:

$$\left(2^3\right)^4 \ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Асоціативність стосується однієї операції!

Пам'ятай, що асоціативність завжди стосується однієї операції. Якщо маємо вираз із трьома числами, але операції в ньому різні, застосувати правило асоціативності не можна. Наприклад:

$$(1+2)\cdot3$$

Цей вираз містить дві операції — додавання та множення. Кожна з цих операцій сама по собі асоціативна, але все одно тут не можна застосувати правило асоціативності, не можна перетворити вираз на

$$1+(2\cdot3)$$

бо вираз містить дві різні операції. Щоб можна було застосувати правило асоціативності, обидві операції мали б бути додаванням або обидві — множенням.

Перетин і об'єднання

Перетин множин асоціативний. Наприклад, вираз

$$(\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}3,5\right\}) \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

ми б спершу перетворили, обчисливши перетин множин у дужках:

$$\left\{1{,}3\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

А перетин цих множин дорівнює {1}. Якби ми перенесли дужки, то отримали б

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap (\left\{1{,}3,5\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\})$$

а після обчислення дужки:

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}5\right\}$$

І знову отримали б {1}. Бачимо, що розташування дужок не має значення, а тому перетин множин асоціативний. Так само асоціативним є й об'єднання множин.

Складання слів / конкатенація

Уяви, що існує операція додавання для частин слів, яка означає просто з'єднання слів. Тобто «комп'ю» + «тер» дорівнювало б слову «комп'ютер». Така операція була б асоціативною. Наприклад, якби ми записали («лам» + «по») + «чка», то спершу, додавши в дужці, отримали б «лампо» + «чка», що дало б слово «лампочка». Якби ми перенесли дужки, «лам» + («по» + «чка»), то після додавання в дужці отримали б «лам» + «почка», що знову дало б слово «лампочка».

Максимум і мінімум асоціативні

Уявімо операцію $a \lor b$, яка повертає більше з двох чисел. Така операція була б асоціативною. Наприклад, $(5 \lor 10) \lor 7$ ми б перетворили на $10 \lor 7$, і це дорівнювало б 10. Десять — найбільше з цих трьох чисел. Якби ми переставили дужки, то отримали б $5 \lor (10 \lor 7)$, після перетворення $5 \lor 10$, що знову дорівнює 10.

Мінімум поводився б абсолютно так само.