Комутативність

Комутативність (переставна властивість) — це властивість операцій, таких як, наприклад, додавання. Можна помітити, що в додаванні порядок не має значення, тож 3 + 5 — те саме, що й 5 + 3. Які б два дійсні числа ми не додали, a + b, результат буде той самий, навіть якщо поміняти доданки місцями: b + a. Якщо операція задовольняє цю умову, кажуть, що вона комутативна.

Прикладом іншої комутативної операції є множення, адже 2 · 6 дає той самий результат, що й 6 · 2, і те саме справджується для будь-яких двох чисел a, b:

$$\large a\cdot b = b\cdot a$$

Прикладом операції, яка не є комутативною, є віднімання, адже 7 − 4 — це не те саме, що 4 − 7. У першому випадку отримуємо 3, у другому — −3. Інший приклад — ділення, адже 2 : 5 — це не те саме, що 5 : 2.

Проте будь обережним і з іншими властивостями операцій, наприклад із пріоритетом множення. Якщо маємо вираз 1 + 2 · 3, не можна вважати, що це те саме, що 2 + 1 · 3. Множення має пріоритет перед додаванням. Допомогти можуть дужки: вираз 1 + 2 · 3 — те саме, що 1 + (2 · 3). Якщо ж ми хочемо застосувати переставну властивість додавання, то можемо, але треба брати разом з усією дужкою: 1 + (2 · 3) дорівнює (2 · 3) + 1, а це дорівнює (3 · 2) + 1, якщо ще застосувати комутативність множення.

Операції над множинами та комутативність

Комутативними можуть бути не лише операції над числами, а й, наприклад, операції над множинами. Скажімо, перетин множин A і B — комутативна операція. Перетин двох множин — це «елементи, які належать обом множинам», тобто

$$\large A\cap B = B\cap A$$

Цілком так само буде з об'єднанням множин A і B, результатом якого є «елементи, які належать принаймні одній із множин», а отже:

$$\large A\cup B = B\cup A$$

Комутативною не є, наприклад, різниця множин.

Вектори

Ще одну комутативну операцію можна знайти серед операцій над векторами — це додавання векторів; загалом додавання здебільшого є комутативною операцією. У цьому випадку для двох векторів $\vec{u}$ і $\vec{v}$ маємо

$$\large\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$

Графічно це показує такий рисунок:

Суму $\vec{u}+\vec{v}$ показує «верхній шлях»: спершу відкладаємо червоний вектор $\vec{u}$, а потім синій вектор $\vec{v}$. Суму $\vec{v}+\vec{u}$ показує «нижній шлях»: спершу йдемо шляхом синього вектора $\vec{v}$, а потім червоного вектора $\vec{u}$. Результат однаковий: вектори закінчуються в тій самій точці.

Можеш уявити це так, ніби ти вийшов з якогось місця і пройшов п'ятдесят метрів на північ, а потім двадцять метрів на захід. Якби ти спершу пройшов двадцять метрів на захід, а потім п'ятдесят на північ, опинився б у тому самому місці. Така ходьба, отже, комутативна.

Логіка

До комутативних операцій належать також логічні операції «і» (кон'юнкція) та «або» (диз'юнкція). Це означає, що висловлення «число 5 непарне і водночас просте» має таку саму істинність, як висловлення «число 5 просте і водночас непарне». Так само для диз'юнкції: «число 6 просте або парне» має таку саму істинність, як висловлення «число 6 парне або просте».

А ось імплікація комутативною не є: висловлення «якщо я виграю в лотерею, то стану багатим» — це не те саме, що «якщо я стану багатим, то виграю в лотерею».