Медичний парадокс

Пацієнт проходить тест на якусь хворобу, і тест повертає позитивний результат, тобто тест відповідає, що пацієнт хворий. Проте насправді ймовірність того, що він справді хворий, може бути значно меншою, ніж ймовірність того, що він здоровий.

Історія

Сталося так, що в місті з'явився новий грип. Студент-математик іде до лікаря, який перевіряє його тестом, чи є в нього цей грип. Цей тест має точність 99{,}95,%. Через тиждень студент дізнається, що тест позитивний. Якийсь час він засмучений: адже тест має точність 99{,}95,%, отже, шанс, що тест помилився, лише 0{,}05,%. Але потім він починає рахувати й радіє. З'ясовується, що ймовірність, що він справді хворий на цей грип, становить лише приблизно 17,%. Як таке можливо?

Спробуймо пройти весь розрахунок. Для простоти уявімо, що наш вигаданий тест міг би працювати так. (На практиці навряд чи якийсь тест міг би мати 100-відсоткову точність, але заради простоти припустімо це.)

• Якщо ти хворієш, тест у 100,% випадків скаже, що ти хворієш.
• Якщо ти не хворієш, тест правильний у 99{,}95,% випадків. Тобто навіть коли ти не хворієш, у 0{,}05,% випадків тест скаже, що хворієш.
• Якщо тест повідомляє, що ти не хворієш, то хвороби в тебе точно немає.
• Якщо тест повідомляє, що ти хворієш, це може бути і правдою, і помилкою.

Але це ще не все, що нам потрібно знати. Ми маємо ще знати, скільки хворих у даній популяції.

Багато хворих

Тепер подивімося, як тест спрацює в різних середовищах. У цьому випадку результат очікуваний. Уяви популяцію A, де 200 людей із 10,000 справді хворі на грип, тобто 2,% людей інфіковані. Тестуємо мільйон людей. Це означає, що 20,000 людей хворіють на грип, а решта ні.

Оскільки тест завжди правильний, якщо людина справді хвора, він позначить 20,000 людей як хворих. Лишається 980,000 людей, які не хворі. Тут тест має точність 99{,}95,%, тобто помиляється у 0{,}05,% випадків, тому він позначить 980,000 · 0{,}0005 = 490 людей як хворих, хоча вони не хворі.

Загалом тест позначить як хворих 20,490 людей. З цієї кількості хворих лише 20,000 людей. Отже, ймовірність, що ти справді хворієш, становить 20,000 / 20,490 = 0{,}9760858956, що приблизно дорівнює 97{,}6,%.

Мало хворих

Погляньмо на популяцію B, де хворий лише 1 із 10,000, тобто хвороба є в 0{,}01,% мешканців. Проводимо такий самий тест на мільйоні людей.

З мільйона людей хворих лише 100 — цих людей тест правильно позначить як хворих. Залишається 999,900 здорових людей. З них тест позначить 0{,}05,% як хворих через свою помилку. Отже, тест позначить $999,900 \cdot 0{,}0005 \approx 500$ здорових людей як хворих. Решту позначено правильно як здорових.

Загалом тест позначить 100 + 500 = 600 людей як хворих. Із цих людей справді хворих лише сто, тому ймовірність, що ти справді хворієш, становить лише 100/600 = 1/6, приблизно 17,%. Навіть якщо тест позначив тебе як хвору людину, набагато ймовірніше, що хвороби в тебе немає.

Один хворий

Попередній результат — що коли тест позначає тебе як хвору людину, то насправді ти хворієш лише з імовірністю приблизно 17,% — для когось може бути несподіваним. Ще краще це видно, якщо довести приклад до крайнощів.

Припустімо популяцію з мільйона людей, з яких лише одна-єдина людина хвора. Тест, яким нас перевіряють, має для здорових людей точність 90,%. Що це означає? Що з 999,999 здорових людей тест позначить 10,% як хворих, тобто позначить приблизно сто тисяч людей як хворих. Проте насправді хвора лише одна людина. Навіть якщо тест позначив тебе, шанс, що ти справді хворієш, лише 1/100000, тобто приблизно 0{,}001,%.