Парадокс краваток

Зустрілися якось два приятелі, Андрій і Богдан, на відпочинку в Дубаї. Після кількох пляшок доброго солом'яного вина вони почали битися об заклад, у кого з них дорожча краватка.

Умова

Отже, Андрій і Богдан після кількох пляшок вина побилися об заклад, у кого з них дорожча краватка. Кожен отримав свою краватку на Різдво від дружини, і жоден із них не знає, скільки вона коштує. Точне формулювання парі таке: вони запитають у дружин про ціну, і той, у кого краватка дешевша, отримає краватку другого. Тобто якщо в Андрія краватка дешевша, ніж у Богдана, Андрій отримає Богданову краватку, і навпаки. Перше запитання: чи є хтось із них у кращому становищі? Чи вигідно комусь із них іти на парі, чи шанси в обох абсолютно однакові?

Псевдорозв'язання

Можливо, так. Надалі припускатимемо, що ціни краваток різні. Це нічого не змінює, бо якби ціни були однакові, ніхто б не отримав чужої краватки. Рахуй разом зі мною: у Андрія краватка, яка коштує X гривень. Про Богданову краватку він нічого не знає, жодних інших підказок немає, тому ймовірність, що в нього дешевша краватка, дорівнює 50,%, а ймовірність, що дорожча, теж 50,%. Отже, якщо в Андрія буде дорожча краватка, він втратить X гривень. Але якщо краватка буде дешевша, він отримає більше ніж X гривень. І те, й те з ймовірністю 50,%: він має 50,% шанс втратити X гривень і 50,% шанс отримати більше ніж X гривень.

За однакової ймовірності він може виграти більше грошей (дорожчу краватку), ніж може програти. А це вигідно! Здається, що для Андрія все складається дуже добре і що йому краще піти на парі. Він може виграти більше, ніж може втратити.

Однак, як ви, мабуть, здогадуєтеся, ті самі міркування може провести й Богдан. Богдан теж має 50,% шанс втратити свою краватку вартістю Y і 50,% шанс виграти краватку вартістю більше ніж Y.

Очевидно, що за однакових умов парі обидва учасники не можуть бути у виграші; щось тут не так.

Розв'язання

Спершу розпишемо, що хто насправді може виграти. Підставимо довільні конкретні ціни краваток. Для простоти припустімо, що існують лише дві краватки, з цінами 3000 і 4000 гривень. Тоді з погляду Андрія можливі такі випадки:

• В Андрія краватка за 3000, а в Богдана за 4000 $\rightarrow$ Андрій отримав 4000.
• В Андрія краватка за 4000, а в Богдана за 3000 $\rightarrow$ Андрій втратив 4000.

(Те, що краватки мають однакову ціну, ми виключили, але це було не обов'язково — тоді б ніхто з них не виграв.)

Як бачимо, граємо завжди на ту саму суму: Андрій може або отримати 4000, або втратити 4000. Звісно, це не залежить від конкретної ціни: якщо підставити суми 250 і 350, то гратимуть завжди на 350 гривень. Тож нікому не вигідно йти (або не йти) на парі, якщо в нього немає додаткової інформації.

Якби ми мали загалом три різні краватки, скажімо, за 2000, 3000 і 4000, можливостей було б трохи більше. Спочатку виграші Андрія, потім його програші:

• В Андрія краватка за 2000, а в Богдана за 3000 $\rightarrow$ Андрій отримав 3000.
• В Андрія краватка за 2000, а в Богдана за 4000 $\rightarrow$ Андрій отримав 4000.
• В Андрія краватка за 3000, а в Богдана за 4000 $\rightarrow$ Андрій отримав 4000.
• В Андрія краватка за 3000, а в Богдана за 2000 $\rightarrow$ Андрій втратив 3000.
• В Андрія краватка за 4000, а в Богдана за 2000 $\rightarrow$ Андрій втратив 4000.
• В Андрія краватка за 4000, а в Богдана за 3000 $\rightarrow$ Андрій втратив 4000.

Усі можливості однаково ймовірні. Як бачимо, Андрій може отримати точно стільки грошей, скільки може водночас втратити. Подібні таблиці вийшли б і для більшої кількості краваток, завжди було б так, що Андрій може втратити стільки грошей, скільки може водночас отримати. А оскільки всі можливості однаково ймовірні, жоден із учасників не в невигідному становищі.

Головна помилка Андрія полягала в тому, що він виходив із фіксованої ціни своєї краватки. Так робити не можна, адже, як видно з прикладу з двома краватками, ціна його краватки у разі програшу була інша, ніж у разі виграшу. Так само в наступному прикладі з трьома краватками: коли Андрій вигравав, ціна його краватки була з множини {2000, 3000}, а коли програвав, ціна була з множини {3000, 4000}. При цьому Андрій весь час виходив із фіксованої суми.