Петербурзький парадокс

Петербурзький парадокс поєднує статистику, ухвалення рішень і ймовірність. Уяви, що в Петербурзі є казино, яке пропонує нам гру, де можна виграти певну суму грошей. Наше завдання — з'ясувати, якою мала б бути справедлива плата за вхід у цю гру.

Правила гри

Якщо ми вступаємо в гру, круп'є починає підкидати монету. Якщо в першому кидку випадає решка, гра закінчується, і ми виграли один євро. Якщо випадає орел, гра триває. У другому раунді монету знову підкидають. Якщо випадає решка, гра закінчується, і ми виграли вдвічі більше за попередній можливий виграш, тобто два євро. Якщо випадає орел, продовжуємо. Якщо в третьому раунді випаде решка, виграємо чотири євро. Якщо в четвертому — вісім євро.

Узагальнимо: якщо решка випала в k-му раунді, то ми виграли 2^{k − 1} євро. Тепер питання: якою мала б бути справедлива плата за вхід у цю гру?

Математичне сподівання

Справедлива ціна має спиратися на очікуване значення, тобто математичне сподівання. Наприклад, якщо в середньому можна виграти сто євро, то плата за вхід має становити сто євро, а точніше трохи більше, щоб казино заробило. Але яке математичне сподівання в нашій грі? Випишемо ймовірності, з якими можна отримати окремі виграші. У першому стовпці — виграші, у другому — наш шанс, що ми цього виграшу досягнемо. Наприклад, шанс, що в першому кидку випаде решка, дорівнює $\frac12$. Шанс, що спершу випаде орел, а потім решка, дорівнює $\frac14$. І так далі.

$$\begin{array}{cc} 1&1/2\\ 2&1/4\\ 4&1/8\\ 8&1/16\\ 16&1/32\\ …&… \end{array}$$

Як тепер обчислити математичне сподівання? Помножимо суму, яку можна отримати, на ймовірність, з якою її можна отримати, і все додамо. Отримуємо:

$$\begin{eqnarray} E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\ &=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty \end{eqnarray}$$

Математичне сподівання дорівнює нескінченності. Отже, в ідеалізованому випадку середній виграш — нескінченно багато євро. Звучить непогано. Проблема в тому, що тоді й плата за вхід мала б дорівнювати нескінченності. Це, звісно, безглуздя.

Критики парадоксу, зрозуміло, заперечують: грати нескінченно довго не можна, виграти нескінченно багато грошей теж, і навіть якщо «знизити» максимальну кількість кидків монети з нескінченності до якогось скінченного числа n, то доволі швидко дійдемо до сум, яких немає в жодної людини у світі. Наприклад, після 41 кидка ми вже виграли б 2⁴⁰ євро, а це приблизно трильйон євро (тисяча мільярдів євро). Ще після десяти кидків виграш був би в тисячу разів більший.

Скінченна плата за вхід

Нескінченно багато євро за вхід тобі, звісно, ніхто не дасть. Проте парадокс можна частково показати й зі скінченною сумою грошей. Для кожної суми в цілих євро існує така максимальна кількість кидків монети, що математичне сподівання виходить саме таким, яким потрібно. Наприклад, якщо ми хочемо плату за вхід тисячу євро, скажемо, що максимальна кількість кидків монети дорівнює 2000. Тоді обчислюємо таку суму:

$$\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000$$

Математичне сподівання тоді дорівнює 1000 євро. Якщо ми хочемо плату за вхід у розмірі D євро, то скажемо, що максимальна кількість кидків монети дорівнює 2D.

Але, звісно, жодна розсудлива людина не заплатить, скажімо, тисячу євро за вхід, якщо шанс виграти більше за тисячу євро в неї мізерний.

Інші джерела

• Вікіпедія
• Hlaváček, Jiří; Hlaváček, Michal: Petrohradský paradox [PDF], чеською