Нетранзитивні кубики
Kapitoly: Задача про три двері, Ймовірнісний парадокс брехуна, Парадокс краваток, Парадокс Сімпсона, Медичний парадокс, Петербурзький парадокс, Нетранзитивні кубики
Уяви, що в тебе є три шестигранні кубики, на яких записані довільні числа. Чи може так бути, що на кубику A частіше випадає більше число, ніж на кубику B, на кубику B частіше випадає більше число, ніж на кубику C, а на кубику C частіше випадає більше число, ніж на кубику A?
Транзитивність
Транзитивність — це поняття з бінарних відношень. Кажемо, що відношення R на множині M транзитивне, якщо для всіх a, b, c ∈ M з того, що (a; b) ∈ R і водночас (b; c) ∈ R, випливає, що й (a; c) належить R.
У випадку кубиків можна розглянути відношення «бути кращим кубиком» у такому сенсі: кубик A кращий за кубик B, якщо на кубику A частіше випадає більше число, ніж на кубику B. Тоді транзитивність виглядатиме так: якщо кубик A кращий за кубик B і водночас кубик B кращий за кубик C, то й кубик A має бути кращим за кубик C. Чи це правда?
Спробуймо знайти контрприклад, тобто три такі кубики, які будуть кращими по колу. Кубик A буде кращим за кубик B, кубик B буде кращим за кубик C, а кубик C буде кращим за кубик A. Розглядаємо завжди лише шестигранні кубики.
Приклад
Приклад — такі три кубики:
- A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
- B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
- C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.
Яка ймовірність, що на кубику A випаде більше число, ніж на кубику B? Усього є 36 різних пар, якими можуть випасти кубики. Якщо на кубику B випадає перша одиниця, то на кубику A завжди випадає більше число. Тобто маємо 6 пар, коли на кубику A випадає більше число. Якщо на B випадає друга одиниця, маємо ще 6 пар, коли на A випадає більше число. Якщо випадає одна з шісток, на A має випасти одна з дев'яток. Це ще 4 можливості. Якщо випадає одна з вісімок, на A має випасти одна з дев'яток. Знову 4 можливості. Разом маємо 6 + 6 + 4 + 4 = 20 можливостей. Ймовірність того, що на A випаде більше число, дорівнює 20/36 = 5/9, а це приблизно 56,%.
Тепер B проти C. Якщо на C випадає одна з трійок, на B має випасти одна з шісток або одна з вісімок. Це разом 2 · 4 = 8 можливостей. Якщо випадає п'ятірка, на B знову має випасти 6 або 8, тож знову 8 можливостей. Якщо випадає сімка, на B має випасти вісімка, це 4 можливості. Разом 8 + 8 + 4 = 20. Ймовірність знову 5/9.
Нарешті C проти A. Якщо на A випадає двійка, усе з C більше. Це 12 можливостей. Якщо випадає четвірка, на C може випасти 5 або 7. Це 8 можливостей. Якщо випадає дев'ятка, нам не щастить. Разом це 12 + 8 = 20 можливостей, і ми знову отримуємо ймовірність 5/9.
Кубики Ефрона
Кубики Ефрона — ще один приклад набору кубиків, які не є транзитивними щодо відношення «бути кращим кубиком». На них такі числа:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.
При цьому кожен кубик перемагає наступний завжди з ймовірністю 2/3. Наприклад, коли на кубику A випадає четвірка, він перемагає кубик B. Коли випадає нуль, програє. А четвірка на кубику A випадає з ймовірністю 2/3. Аналогічно для інших кубиків.
Існують також інші варіанти кубиків Ефрона. Такі, що мають однакове середнє значення за один кидок (наприклад, кубик A у середньому дає число 8/3, тоді як у C середнє вище, 10/3), або такі, що між собою ділять усі натуральні числа від 1 до 24.