Правило Крамера

Правило Крамера застосовують для розв'язування систем лінійних рівнянь, у яких матриця системи невироджена.

Система Крамера

Нехай маємо систему лінійних рівнянь Ax = b. Таку систему називаємо системою Крамера, якщо A — квадратна невироджена матриця. Це означає, що визначник цієї матриці завжди ненульовий, а отже, у матриці немає лінійно залежних рядків чи стовпців.

За теоремою Кронекера–Капеллі (чеською її називають теоремою Фробеніуса) кожна система Крамера має рівно один розв'язок. Теорема Кронекера–Капеллі стверджує, що коли $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A|b) = k$, то система має розв'язок. Матриця A системи Крамера квадратна й має максимально можливий ранг. Це означає, що коли до цієї матриці дописати будь-який інший стовпець, він обов'язково буде лінійною комбінацією стовпців матриці A. Тож дописавши стовпець із матриці b, ми не збільшимо ранг матриці A.

Теорема Кронекера–Капеллі також стверджує, що для запису розв'язку потрібно n − k параметрів, де n — кількість змінних, а k — ранг матриці $\operatorname{rank}(A|b)$. Для системи Крамера виконується n = k, тому для запису розв'язку потрібно нуль параметрів. Саме тому кожна система Крамера має рівно один розв'язок.

Далі позначимо через A_i матрицю A, змінену так, що замість i-го стовпця в ній стоїть стовпець b. Формально матрицю A_i означуємо так:

$$ A_i=\begin{pmatrix} a_{1{,}1}&…&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&…&a_{1,n}\\ a_{2{,}1}&…&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&…&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&…&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&…&a_{n,n}\\ \end{pmatrix} $$

де a_ij — елементи матриці A, а b_i — елементи матриці b.

Правило Крамера

Нехай Ax = b — система лінійних рівнянь Крамера. Правило Крамера стверджує, що ця система має рівно один розв'язок (x₁; x₂; …; x_n), де

$$x_i=\frac{\det A_i}{\det A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Одразу покажемо правило на невеликому прикладі. Розв'яжемо таку систему за допомогою правила Крамера.

$$ \begin{array}{ccccccccc} x_1&+&2x_2&=&5\\ 4x_1&+&3x_2&=&15& \end{array} $$

Матриця системи матиме вигляд:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} $$

Визначник матриці дорівнює:

$$|A| = 3 - 8 = -5.$$

Далі утворимо матриці A₁ і A₂. Вони матимуть вигляд:

$$ A_1=\begin{pmatrix} 5&2\\ 15&3 \end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix} 1&5\\ 4&15 \end{pmatrix} $$

Обчислимо визначники цих матриць:

$$\begin{eqnarray} |A_1|&=&5\cdot3-15\cdot2=-15\\ |A_2|&=&1\cdot15-4\cdot5=-5 \end{eqnarray}$$

І послідовно обчислимо x₁ та x₂. За правилом Крамера для елемента x₁ виконується рівність

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Після підстановки маємо

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Те саме для другого елемента x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Отже, розв'язком системи рівнянь є пара (x₁; x₂) = (3; 1).

Правило Крамера зручне передусім тоді, коли потрібно алгоритмізувати процес: його легко запрограмувати. Розв'язувати систему за правилом Крамера вручну зазвичай складніше, ніж методом Гаусса.