Винесення спільного множника за дужки

Перш ніж братися до винесення за дужки, розглянемо розкриття дужок, бо воно тісно пов'язане з винесенням. Можна навіть сказати, що винесення за дужки — це цілком обернена дія до розкриття дужок.

Розкриття дужок

Розкриття дужок — проста операція, яку покажемо на прикладі: обчислімо вираз 3 · (5 + 8). Є два способи. Можна додати числа в дужках і отримати 3 · 13, бо 5 + 8 = 13.

Другий спосіб — дужки розкрити. Це означає, що беремо число перед дужками, трійку, і множимо на нього обидва числа в дужках. Знак плюс у дужках залишається. Отримаємо:

$$ 3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8) $$

Обидва способи дають той самий результат: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Чому розкриття дужок працює

Чому ми можемо так робити, чому розкриття дужок працює? Уявімо добуток як розписану суму. Якщо, наприклад, напишемо 3 · 7, то тим самим кажемо, що хочемо тричі додати число сім, тобто 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Так само можна розписати приклад із дужками: 3 · (5 + 8) — це те саме, що (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Оскільки під час додавання порядок не важливий, можемо прибрати дужки й переставити п'ятірки та вісімки поруч так: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. І тут уже видно, що цей вираз можна переписати за допомогою множення так: 3 · 5 + 3 · 8, а це саме те, що ми зробили під час розкриття дужок.

Приклади на розкриття дужок

1. Розкрий дужки: 5 · (4 + 7). Знову просто множимо числа в дужках на п'ять і отримуємо 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Розкрий дужки: 6 · (x + 4). Невідомої не лякаймося і так само просто помножимо її на шість. Отримуємо: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Розкрий дужки: x · (4 + 173). Тепер невідома стоїть перед дужками, тож обидва числа всередині дужок множимо на x. Отримуємо x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Розкрий дужки: 4x · (2x + 7). Тепер маємо невідому і перед дужками, і в них, а перед дужками ще й складніший вираз. Це знову не проблема, вміст дужок множимо на 4x так: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Просте винесення за дужки

Винесення за дужки — це дія, обернена до розкриття дужок. На початку маємо, наприклад, вираз 10x + 5. Якщо знайдемо число, на яке можна розумно поділити обидва доданки, то можемо це число, як кажуть, винести за дужки. У нашому виразі це буде число 5, бо 10x / 5 = 2x і 5 / 5 = 1. Тож можемо записати, що

$$ 10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1). $$

Якщо ж розкрити дужки в 5 · (2x + 1), отримаємо знову 10x + 5. Мета винесення за дужки — зазвичай спростити даний вираз або перетворити його на добуток, щоб потім можна було скоротити дріб.

Винесення невідомої

Часто виносять саму невідому, не обов'язково лише число. Тож якщо маємо вираз 3x² + 7x, можемо винести з нього x, тобто поділити обидва доданки на x, додати дужки й помножити дужки на x. Отримаємо 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Зазвичай намагаємося винести «якомога більше», тож якби ми мали вираз 8x² + 12x, можна винести лише x і отримати 8x² + 12x = x · (8x + 12), але ми бачимо, що з дужок можна було б винести ще число 4. Можемо зробити це зараз, додатково, і отримаємо: x · (4 · (2x + 3)). Ці зовнішні дужки можна прибрати й отримати: 4x · (2x + 3).

До такого самого результату ми дійшли б, якби з початкового виразу 8x² + 12x одразу винесли вираз 4x. Якщо це розписати, отримаємо

$$ 8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 / 4x + 12x / 4x) = 4x \cdot (2x + 3). $$

Винесення за дужки зі складніших виразів

Досі ми виносили лише з виразів, що мають два доданки. Але виносити можна й з довших виразів. Наприклад, із 7x³ + 5x² + 2x можемо винести x і отримати x · (7x² + 5x + 2).

Також не обов'язково виносити лише якесь гарне число, можна винести що завгодно. Наприклад, із виразу 6x + 7 можна винести число 2, але результат буде негарний, бо обидва доданки треба поділити на два. Для 6x усе вийде легко, бо 6x / 2 = 3x, а от для числа 7 уже не дуже гарно: 7 / 2 = 3{,}5. Отримаємо такий вираз: 6x + 7 = 2 · (3x + 3{,}5).

Розв'язані приклади

• Винеси за дужки щось зручне з виразу 25x + 45. З першого погляду видно, що можна винести число 5, тож отримуємо 5 · (5x + 9).

• Спрости дріб

  $$ \frac{3x^2+7x}{x}. $$

  Спершу в чисельнику дробу виносимо x. Отримаємо в чисельнику x · (3x + 7). Тепер у всьому дробі можна скоротити x.

  $$ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 $$

• Винеси за дужки щось зручне з виразу −2x² − 8x. Тут уперше маємо від'ємні числа. Це зовсім не заважає: так само, як ми виносили додатні числа, можна виносити й від'ємні. Тож можемо одразу винести −2x. Отримаємо

  $$ -2x^2-8x = -2x (x + 4). $$