Рівняння прямої в просторі

У попередніх статтях ми розглядали аналітичне задання прямої на площині. У цій статті покажемо, як аналітично задати пряму в просторі.

Параметричне рівняння прямої в просторі

Розбираючи параметричне рівняння прямої на площині, ми пояснили: якщо маємо точку A, через яку проходить пряма p, і напрямний вектор $\vec{u}$, то кожну точку X цієї прямої p можна записати як

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Число t називаємо параметром. Попереднє рівняння дає відому систему рівнянь

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Можемо подивитися на рисунок:

Якщо до точки A додати напрямний вектор $\vec{u}$, помножений на число t, отримаємо точку B. І так для кожної точки прямої.

Ця ідея працює й тоді, коли ми перебуваємо в просторі. У просторі пряму p теж можна задати точкою A, через яку вона проходить, і напрямним вектором $\vec{u}$, і тоді для кожної точки X цієї прямої виконуватиметься

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Бачимо, що отримуємо точнісінько те саме рівняння. Різниця лише в тому, що ми в просторі, тому точки X і A мають три координати, а не дві, і напрямний вектор $\vec{u}$ теж буде тривимірним. Рівняння тоді дає систему трьох рівнянь замість двох:

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1,\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ z &=& a_3 + t\cdot u_3,\\ \end{eqnarray}$$

де x, y, z — координати точки X(x; y; z), що лежить десь на прямій, $\vec{u}=(u_1; u_2; u_3)$ — напрямний вектор, а A(a₁; a₂; a₃) — точка в просторі, через яку проходить ця пряма.

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky