Вектор нормалі прямої

Вектор нормалі прямої p — це вектор, який перпендикулярний до прямої p, а його координати беруться із загального рівняння прямої.

Мотивація

Маємо пряму p, яка проходить через точки A(0; 1), B(2; 5). Пряма є графіком функції y = 2x + 1, тож загальне рівняння прямої має вигляд −2x + y − 1 = 0. Рисунок:

Загальне рівняння має вигляд ax + by + c = 0, у нашому випадку для рівняння −2x + y − 1 = 0 маємо a = −2, b = 1, c = −1. Який геометричний зміст мають коефіцієнти a, b? Просто заради цікавості намалюємо на рисунку вектор $\vec{u}=(a; b)$, тобто вектор $\vec{u}=(-2; 1)$:

Досить чітко видно, що цей вектор перпендикулярний до прямої p. Це не випадковість: якщо взяти будь-яке загальне рівняння прямої ax + by + c = 0, то вектор (a; b) буде перпендикулярний до цієї прямої. Такий вектор називаємо вектором нормалі прямої p.

Властивості вектора нормалі

З властивостей скалярного добутку векторів знаємо, що скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори перпендикулярні. Оскільки напрямний вектор прямої p паралельний прямій p, то будь-який напрямний вектор прямої p перпендикулярний до вектора нормалі. Якщо обчислити напрямний вектор із відрізка $\overrightarrow{AB}$, отримаємо вектор

$$ \vec{v} = B-A=(2; 5)-(0; 1)=(2; 4) $$

На рисунку:

Якщо трохи погратися зі скалярним добутком двох векторів, означення якого нагадаємо:

$$(u_1; u_2) \cdot (v_1; v_2) = u_1\cdot v_1 + u_2 \cdot v_2,$$

то побачимо, що для дійсних чисел a, b скалярний добуток векторів (a; b) і (−b; a), а також векторів (a; b) і (b; −a) завжди дорівнює нулю:

$$\begin{eqnarray} (a; b)\cdot(-b; a) &=& a\cdot (-b) + b\cdot a = 0\\ (a; b)\cdot(b; -a) &=& a\cdot b - b\cdot a = 0\\ \end{eqnarray}$$

Тепер повернімося до прямої p, заданої загальним рівнянням ax + by + c = 0, і до вектора нормалі (a; b), який перпендикулярний до цієї прямої. Але зачекай! Адже за попередньою властивістю вектори (−b; a) і (b; −a) мають із вектором нормалі нульовий скалярний добуток, тож вектори (−b; a) і (b; −a) перпендикулярні до вектора нормалі! А оскільки вектор нормалі перпендикулярний до прямої, то вектор, перпендикулярний до нього, має бути паралельний початковій прямій p! Круто!

Намалюємо на рисунку вектори $\vec{v}_1=(-b; a)$ і $\vec{v}_2=(b; -a)$. Пряма має загальне рівняння −2x + y − 1 = 0, тож після підстановки зелені вектори мають вигляд $\vec{v}_1=(-1; -2)$ і $\vec{v}_2=(1; 2)$:

Складання загального рівняння прямої за вектором нормалі й точкою

Ми вже знаємо, що загальне рівняння прямої досить легко отримати з параметричного рівняння. Якщо ж відомий вектор нормалі $\vec{n}$, то загальне рівняння також легко знайти. Нехай пряма p проходить через точку A(5; 13) і має вектор нормалі $\vec{n}=(4; -6)$. Пряма p має загальне рівняння ax + by + c = 0, і за означенням вектора нормалі коефіцієнти a, b ми можемо визначити одразу: вони дорівнюють a = 4, b = −6, тобто координатам вектора нормалі. Загальне рівняння прямої має вигляд

$$ 4x-6y+c=0 $$

Залишилося знайти коефіцієнт c. Це рівняння, яке описує пряму p, має виконуватися для всіх точок, що лежать на прямій p. Тобто якщо підставити замість x, y координати точки, яка лежить на прямій p, рівність має виконуватися. Достатньо підставити точку A, через яку пряма p точно проходить. Точка A має координати A(5; 13), тому в рівняння 4x − 6y + c = 0 підставимо x = 5, y = 13:

$$\begin{eqnarray} 4\cdot5-6\cdot13+c&=&0\\ 20-78+c&=&0\\ c&=&78-20\\ c&=&58 \end{eqnarray}$$

Отже, повне загальне рівняння прямої p має вигляд

$$ 4x-6y+58=0. $$

Два напрямні вектори прямої p — це $\vec{u}_1=(6; 4)$ і $\vec{u}_2=(-6; -4)$.

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky