Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої ми отримуємо з параметричного рівняння прямої, якщо виключимо параметр t.

Мотивація

Пам'ятаєш лінійну функцію? Її графіком є саме пряма. Загальний вигляд лінійної функції — y = kx + b. Розглянемо пряму p, яка проходить через точки A(0; 3), B(2; 7):

Знайдемо лінійну функцію, графіком якої є саме ця пряма p. Вона має вигляд y = kx + b. Те, що пряма проходить через точку A(0; 3), означає, що в точці x₁ = 0 функція має значення y₁ = 3. Тому має виконуватися рівність k · 0 + b = 3. Оскільки пряма проходить через точку B(2; 7), функція в точці x₂ = 2 має значення y₂ = 7, тож одночасно виконується рівність k · 2 + b = 7. Нам потрібно знайти коефіцієнти k, b. Отримуємо систему рівнянь:

$$\begin{eqnarray} k \cdot 0 + b &=& 3\\ k \cdot 2 + b &=& 7 \end{eqnarray}$$

З першого рівняння k · 0 + b = 3 легко отримати коефіцієнт b, він дорівнює b = 3. Підставимо цей результат у друге рівняння, тобто в рівняння k · 2 + b = 7 підставимо замість b число три:

$$\begin{eqnarray} k \cdot 2 + b &=& 7\\ k \cdot 2 + 3 &=& 7\\ k \cdot 2 &=& 4\\ k &=& 2 \end{eqnarray}$$

Маємо обидва коефіцієнти: k = 2, b = 3. Функція, яка описує цю пряму, має вигляд y = 2x + 3. Якщо замість x підставити x = 1, отримаємо y = 2 + 3 = 5, що збігається з графіком прямої. Рівняння y = 2x + 3 можна ще переписати так, щоб у правій частині був нуль, тобто додати до рівняння −(2x + 3). Так ми отримаємо рівняння:

$$ y-2x-3=0 $$

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

Означення загального рівняння прямої

Попередній спосіб дещо складний, до того ж він не годиться, коли пряма паралельна осі Oy, тобто вертикальна, бо така пряма не є графіком жодної функції. Тому загальне рівняння прямої введемо ще одним способом. Домовимося, що кожне лінійне рівняння вигляду

$$ ax + by + c = 0, $$

де a,b,c∈ ℝ і принаймні одне з чисел a,b не дорівнює нулю, є рівнянням прямої на площині. При цьому кожну пряму на площині можна записати в такому вигляді. Це рівняння називаємо загальним рівнянням прямої. Його легко отримати з параметричного рівняння прямої. Якщо пряму задано параметричним рівнянням

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ \end{eqnarray}$$

то загальне рівняння отримуємо, виключивши з параметричного рівняння параметр t. Приклад: залишимося з попередньою прямою, заданою точками A(0; 3), B(2; 7). Знайдемо напрямний вектор $\vec{u}$ з напрямленого відрізка $\overrightarrow{AB}$.

$$ \vec{u}=(u_1; u_2)=B-A=(2; 7)-(0; 3)=(2; 4) $$

Ще раз подивимося на пряму p з напрямним вектором $\vec{u}$:

Запишемо параметричне рівняння відносно точки A і вектора $\vec{u}$:

$$\begin{eqnarray} x &=& 0 + t\cdot 2\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

Щоб отримати загальне рівняння, треба додати ці два рівняння так, щоб параметр t скоротився. Спочатку помножимо перше рівняння на −2, а друге залишимо без змін:

$$\begin{eqnarray} -2x &=& 0 - t\cdot 4\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

Тепер додамо обидва рівняння й отримаємо одне:

$$\begin{eqnarray} y-2x &=&3 +t \cdot 4 - t \cdot 4\\ y-2x &=&3\\ y-2x-3 &=&0 \end{eqnarray}$$

Це й є шукане загальне рівняння прямої p. Бачимо, що ми дістали точнісінько те саме рівняння, що й попереднім способом.

Для чого потрібне загальне рівняння прямої

Загальне рівняння визначає всі точки, які утворюють пряму. Якщо в загальне рівняння ax + by + c = 0 підставити замість змінних x,y такі дійсні числа, щоб рівність виконувалася, то (x; y) є точкою цієї прямої. Повернімося до попередньої прямої, заданої загальним рівнянням y − 2x − 3 = 0. Якщо замість x,y підставити значення x = 1, y = 5, отримаємо:

$$\begin{eqnarray} 5-2\cdot1-3&=&0\\ 5-2-3&=&0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$

Це означає, що точка (1; 5) лежить на прямій. Якщо спробувати підставити x = 2, y = 3, отримаємо:

$$\begin{eqnarray} 3-2\cdot2-3&=^?&0\\ 3-4-3&=^?&0\\ -4&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Рівність не виконується, точка (2; 3) на прямій p не лежить. Це можна перевірити і на рисунку:

Вертикальна пряма

Ми вже згадували, що загальне рівняння вертикальної прямої p не можна отримати способом із першого розділу, бо вертикальна пряма не є графіком жодної функції. Проте й така пряма має своє загальне рівняння, яке ми отримаємо способом із попереднього розділу.

Покажемо це на прямій, що проходить через точки A(4; 2), B(4; 8). Напрямний вектор $\vec{u}$ має вигляд:

$$ \vec{u}=(u_1; u_2)=B-A=(4; 8)-(4; 2)=(0; 6) $$

Рисунок:

Параметричне рівняння відносно точки A і напрямного вектора $\vec{u}$ мало б такий вигляд:

$$\begin{eqnarray} x &=& 4 + t\cdot 0\\ y &=& 2 + t\cdot 6\\ \end{eqnarray}$$

Тепер слід було б виключити параметр t. Проте перше рівняння вже заощадило нам роботу: у ньому параметра t немає, точніше, він завжди множиться на нуль, тож усе це рівняння можна взяти як загальне рівняння прямої p. Отже, пряма p має загальне рівняння

$$ x-4=0 $$

Тобто коефіцієнти a,b,c у рівнянні ax + by + c = 0 дорівнюють a = 1, b = 0, c = −4.

Горизонтальна пряма

Розглянемо ще один приклад, із горизонтальною прямою, яка проходить через точки A(2; 1), B(5; 1). Напрямний вектор $\vec{u}$ дорівнюватиме:

$$ \vec{u}=(u_1; u_2)=B-A=(5; 1)-(2; 1)=(3; 0) $$

Рисунок:

Параметричне рівняння прямої відносно точки A мало б такий вигляд:

$$\begin{eqnarray} x &=& 2 + t\cdot 3\\ y &=& 1 + t\cdot 0\\ \end{eqnarray}$$

Знову бачимо, що параметр t виключати не треба, бо в другому рівнянні він множиться на нуль. Тож друге рівняння можна взяти одразу як загальне рівняння прямої p:

$$ y-1=0 $$

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky