Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ґрунтується на величині кута, який пряма утворює з віссю Ox.

Мотивація

Маємо пряму p із загальним рівнянням Ax + By + C = 0. Знаємо, що графіком лінійної функції є саме пряма. Лінійну функцію зазвичай записуємо у вигляді y = f(x). Тож можемо захотіти перетворити загальне рівняння прямої Ax + By + C = 0 саме на такий вигляд. Для цього потрібно, щоб B ≠ 0, адже нам треба виразити y, а отже, поділити все рівняння на B. Якщо B ≠ 0, загальне рівняння можна перетворити так:

$$\begin{eqnarray} Ax+By+C&=&0\qquad/ :B\\ \frac{Ax}{B}+y+\frac{C}{B} &=&0\qquad/ \mbox{ виразимо }y\\ y&=&-\frac{Ax}{B}-\frac{C}{B} \end{eqnarray}$$

Так ми отримали запис звичайної лінійної функції. Оскільки цей запис досить громіздкий, робимо заміну, тобто покладемо

$$\begin{eqnarray} k &=& -\frac{A}{B}\\ b&=& -\frac{C}{B} \end{eqnarray}$$

і тоді попереднє рівняння можна записати у вигляді:

$$ y = kx+b $$

Це не якийсь інший вигляд, просто замість негарного дробу $-\frac{C}{B}$ ми написали b, і все. Оскільки вираз kx + b описує звичайну лінійну функцію, пряма в такому вигляді не може бути паралельною осі Oy. Це ми, власне, виключили вже тим, що поставили умову B ≠ 0.

Якби B = 0, то пряма була б паралельна осі Oy, а загальне рівняння такої прямої мало б вигляд Ax + C = 0. Якщо це рівняння поділити на число A і перетворити, отримаємо:

$$\begin{eqnarray} Ax + C &=& 0\qquad /:A\\ x + \frac{C}{A} &=& 0\\ x &=& -\frac{C}{A} \end{eqnarray}$$

Оскільки дріб $-\frac{C}{A}$ знову негарний, уведемо заміну $m = -\frac{C}{A}$, і зрештою отримаємо рівняння

$$ x = m $$

Підсумуємо: кожну пряму, яка не паралельна осі Oy, можна записати у вигляді y = kx + b, де k, b ∈ ℝ, а кожну пряму, паралельну осі Oy, — у вигляді x = m, де m ∈ ℝ.

Рівняння вигляду y = kx + b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, а коефіцієнт k називаємо кутовим коефіцієнтом прямої.

Приклад

Маємо пряму, що проходить через точки A(2; 8), B(8; 10). Знайди рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння з кутовим коефіцієнтом найкраще знаходити із загального рівняння прямої, тож спочатку складемо його. Загальне рівняння має вигляд ax + by + c = 0, де вектор коефіцієнтів (a; b) — вектор нормалі, тому спершу знайдемо вектор нормалі. Напрямний вектор має координати (8; 10)−(2; 8) = (6; 2), тож вектор нормалі $\vec{n}$ має координати (−2; 6). У загальне рівняння можемо підставити коефіцієнти a = −2, b = 6:

$$ -2x+6y+c=0 $$

Замість (x; y) підставимо в рівняння координати якоїсь точки, через яку пряма точно проходить. Наприклад, точку B(8; 10). Отже, підставимо x = 8, y = 10:

\begin{eqnarray} -2\cdot8+6\cdot10+c&=&0\\ -16+60+c&=&0\\ c&=&-44\\ \end{eqnarray}

Отримуємо загальне рівняння

$$ -2x+6y-44=0 $$

Це рівняння можна поділити на −2, і вийде трохи гарніший вигляд:

$$ x-3y+22=0 $$

Рівняння з кутовим коефіцієнтом отримаємо, виразивши y. Усі інші члени перенесемо в праву частину, а потім поділимо рівняння на три:

\begin{eqnarray} x-3y+22&=&0\\ -3y&=&-x-22\qquad/\cdot -1\\ 3y&=&x+22\qquad /\cdot \frac13\\ y&=&\frac{1}{3}x+\frac{22}{3} \end{eqnarray}

Останній рядок — це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо ми хочемо знати коефіцієнти k, b, запишемо $k=\frac13, b=\frac{22}{3}$. Ще можна подивитися на графік прямої з напрямним вектором $\vec{u}$ і вектором нормалі $\vec{n}$:

Якби коефіцієнт b не вийшов таким незручним, $\frac{22}{3}$, одразу було б видно, що коефіцієнт b визначає координату y точки перетину прямої з віссю Oy. Точка перетину з віссю Oy має координату x, яка дорівнює x = 0. Якщо підставити це в рівняння $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, отримаємо $y=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, тобто для x = 0 змінна y має значення $y = \frac{22}{3}$.

Кутовий коефіцієнт прямої

Якщо маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = kx + b, то число k називаємо кутовим коефіцієнтом прямої. Кутовий коефіцієнт пов'язаний із кутом, який пряма утворює з додатним напрямом осі Ox. Подивися на наступний рисунок:

Рисунок показує чотири різні прямі з різними кутовими коефіцієнтами k, але завжди з однаковим коефіцієнтом b = 2. Усі прямі мають вигляд y = kx + 2. Зверни увагу: коли плавно змінюється значення кутового коефіцієнта, тобто числа перед змінною x, змінюється й кут, який пряма утворює з додатним напрямом осі Ox. Наприклад, фіолетова пряма $y = \frac12x+2$ утворює з піввіссю кут δ, червона пряма y = x + 2 — кут γ, а зелена пряма y = 2x + 2 — кут β.

У цьому випадку чим більший кутовий коефіцієнт, тим більший кут, який пряма утворює з піввіссю. Кутовий коефіцієнт фіолетової прямої $y = \frac12x + 2$ дорівнює $k_1 = \frac12$, кутовий коефіцієнт зеленої прямої y = 2x + 2 дорівнює k₂ = 2, отже, k₁ < k₂. Водночас δ < β. Але, наприклад, кутовий коефіцієнт синьої прямої y = −2x + 2 дорівнює k₃ = −2, тобто він менший за всі попередні, а кут α при цьому найбільший з усіх кутів.

Бачимо, що кутовий коефіцієнт k якось пов'язаний із кутом. Розглянемо це докладніше. Зобразимо лише фіолетову пряму $y = \frac12x+2$, і нас цікавитиме кут δ. Виберемо на прямій дві довільні різні точки A, B і побудуємо з них прямокутний трикутник ABC, як показано на рисунку. Кути δ і ε мають однакову величину, бо це відповідні кути.

Спробуємо тепер виразити кут ε через відрізки AC і BC. Для цього потрібно знати довжини цих відрізків. Позначимо координати точок A і B так: A(x₁; y₁), тобто A(2; 3), і B(x₂; y₂), тобто B(6; 5). Довжина відрізка AC дорівнюватиме різниці |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Беремо координату x точки B, яка збігається з координатою x точки C, і віднімаємо від цього числа координату x точки A. Так отримуємо довжину відрізка AC. Те саме робимо з відрізком BC, лише беремо координати y. Отже, |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Далі скористаємося тригонометричними функціями, а саме тангенсом. У прямокутному трикутнику ABC для кута ε маємо $\operatorname{tg}(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|}$. Тангенс кута ε дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Якщо підставити замість відрізків їхні довжини, отримаємо:

$$ \operatorname{tg}(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|} = \frac{2}{4} = \frac12 $$

Тангенс кута ε, який дорівнює куту δ, вийшов $\frac12$. Тангенс кута, який пряма утворює з додатним напрямом осі Ox, дорівнює $\frac12$. При цьому рівняння цієї прямої $y = \frac12x+2$, тобто тангенс кута, який пряма утворює з додатним напрямом осі Ox, збігається з кутовим коефіцієнтом цієї прямої! Це не випадковість, і так буває завжди:

Якщо пряма p має рівняння з кутовим коефіцієнтом y = kx + b, то кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута, який пряма p утворює з додатним напрямом осі Ox.

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky