Як розв'язувати завдання на числові послідовності

Числові послідовності використовують у найрізноманітніших логічних тестах. Тобі задано послідовність чисел, а твоє завдання — дописати після неї число, яке має логічно йти далі. У цій статті покажемо, як розв'язувати такі завдання.

Завдання

Класичне завдання на числові послідовності виглядає так:

$$2, 4, 6, 8, 10, ?$$

Твоє завдання — знайти число, яке можна підставити замість знака питання так, щоб це мало найбільший сенс. Потрібно знайти якусь характерну властивість серед заданих чисел і за її допомогою обчислити пропущене число. У цьому випадку результатом буде число 12, бо кожне число в послідовності завжди на 2 більше за попереднє.

Розв'язок не завжди однозначний. Можна сказати, що замість знака питання ми можемо поставити будь-яке число, якщо зможемо обґрунтувати цей вибір.

Додавання і множення

До найпростіших послідовностей належать ті, де лише додається якесь число. Приклади:

$$3, 10, 17, 24, ?$$

Тут щоразу додається 7, тож на місці знака питання буде 31. Ще один приклад:

$$-8, -5, -2, 1, ?$$

Додаємо щоразу 3, наступне число в послідовності буде 4. Ще один приклад:

$$17, 8, -1, -10, ?$$

У цій послідовності додаємо −9, тобто віднімаємо 9. Наступним буде −19. Ще один приклад:

$$2, 4, 8, 16, ?$$

Тут ми вже не додаємо, а множимо. Кожне число вдвічі більше за попереднє, тож результатом буде 32. Ще один приклад:

$$27, 9, 3, 1, ?$$

У цій послідовності, навпаки, ділимо на три. Результатом буде $\frac13$. Додавати можна й непостійне число:

$$2, 4, 7, 9, 12, ?$$

Чергуємо додавання +2 і +3. Тобто до 2 додаємо +2, отримуємо 4. Потім додаємо +3 і маємо 7. І так далі. До 12 додаємо 2 і маємо 14. Ще один приклад:

$$5, 6, 8, 11, 15, 20, ?$$

У цій послідовності щоразу додаємо на одиницю більше число, ніж на попередньому кроці, починаючи з +1. Тобто 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 і так далі. Наприкінці додаємо 6, тож результат — 20 + 6 = 26. Ще один приклад:

$$1, 2, 6, 12, 36, 72, ?$$

Чергуємо множення на два і на три. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 і так далі. Наприкінці множимо на три, тож результат — 216.

Чергування послідовностей

Послідовності й операції можна далі комбінувати. Так, можна один раз використати додавання, а наступного — множення:

$$3, 12, 14, 56, 58, 232, ?$$

Тут спочатку множимо на чотири, а на наступному кроці додаємо два. Тобто: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 і так далі. Наприкінці додаємо два, тож результат — 234. Подібний приклад:

$$3, 9, 5, 15, 11, 33, 29, ?$$

Спочатку множимо на три, потім віднімаємо чотири. Отже: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 і так далі. Наприкінці множимо на три, результат — 87.

Послідовності можна скомбінувати так, що в одній послідовності фактично будуть дві, кожна зі своєю характерною властивістю. Приклад:

$$2, 1, 4, 6, 8, 11, 16, 16, 32, ?$$

На непарних позиціях маємо відому послідовність 2, 4, 8, 16, 32, тобто кожне число вдвічі більше за попереднє, а на парних позиціях маємо послідовність 1, 6, 11, 16, ?. Це послідовність, де щоразу просто додається п'ять. Отже, результат — число 16 + 5 = 21. Ще один приклад:

$$2, 7, 3, 11, 5, 15, 8, 19, 12, ?$$

У цій послідовності можна знайти дві підпослідовності. На непарних позиціях маємо 2, 3, 5, 8, 12 — це послідовність, де щоразу додається на одиницю більше число, ніж на попередньому кроці. А на парних маємо: 7, 11, 15, 19, ?. Тобто просто додаємо чотири. Результат — 23.

Класичні послідовності

Існують деякі класичні послідовності, які варто згадати. Почнемо:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — послідовність квадратів натуральних чисел. Інакше записано: 1², 2², 3², 4², 5², … Якщо ти побачиш у послідовності якесь із цих чисел, особливо з-поміж більших, є чималий шанс, що тут відіграє роль саме квадрат числа.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — це відома послідовність Фібоначчі. Кожне число визначається як сума двох попередніх. Тобто з кінця: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 і так далі. Перші два числа, нуль і одиниця, задані наперед.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — послідовність простих чисел. Хіба що зверни увагу: одиниця до простих чисел не належить.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — послідовність факторіалів. Число на n-й позиції дорівнює добутку 1 · 2 · 3 · … · n. Наприклад, на четвертій позиції стоїть число 24, адже 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Інші типи послідовностей

Приклад:

$$17, 3, 6, 14, -3, 23, 19, ?$$

Розв'язок у тому, що якщо додати числа на першому й другому місці, отримаємо число двадцять: 17 + 3 = 20. Так само для наступних пар: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Отже, на місці знака питання має бути одиниця. Ще один приклад:

$$?, 7, 12, 4, 5, 9, 6, -1, 5$$

У цій послідовності розділимо числа на трійки a, b, c, причому виконується a + b = c. Тож ?+7 = 12 і 4 + 5 = 9. Отже, замість знака питання має стояти 5. Ще один приклад:

$$2, 4, 10, 28, ?$$

Тут поєднано дві операції: множення і віднімання. Наступне число отримаємо так: попереднє помножимо на три й ще віднімемо два. Отже, маємо: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Наступне число — 28 · 3 − 2 = 82.