Відношення величин

Відношення зазвичай використовують, коли треба вказати, в якому відношенні речовина A має бути до речовини B. Наприклад, чи має речовини A бути вдвічі більше, удвічі менше тощо. Звісно, мова не обов'язково про дві речовини, їх може бути й більше.

Відносні величини

Відношення завжди відносні, це не абсолютна величина. Якщо в рецепті написано «додай півкіло цукру і чверть кілограма м'яса», це зовсім не те саме, що «додай трохи м'яса і вдвічі більше цукру». У першому випадку нам доведеться купити півкіло цукру, а в другому досить мати вдвічі більше цукру, ніж м'яса. Втім, в обох випадках вийде несмачна бурда.

Відношення зазвичай позначають двокрапкою. Наприклад, 1:2 або 5:4. Що означає такий запис? Перший означає, що першої речовини має бути вдвічі менше, ніж другої. Другий каже, що речовини A має бути в мисці 5 частин, тоді як речовини B — лише 4.

Якщо ми хочемо змішати алкогольний коктейль «будуасіблейт», у якому відношення горілки до рому 5:2, це означає, що в склянку наливаємо 5 децилітрів горілки і 2 децилітри рому. Оскільки йдеться про відношення, умову буде виконано й тоді, коли ми нальємо 2,5 децилітра горілки і 1 децилітр рому. Тобто досить, щоб горілки було в 2,5 раза більше, ніж рому. До числа 2,5 ми дійшли так: поділили 5 на 2. Отже, якщо відношення речовин A до B дорівнює 5:1, це означає, що речовини A має бути в п'ять разів більше (5 / 1). У відношенні 7:3 це було б приблизно в 2,3 раза більше (7 / 3). У відношенні 1:1 речовин було б порівну, а при відношенні 2:3 речовини B було б в 1,5 раза більше (3 / 2) або речовини A було б лише приблизно 0,67 від кількості речовини B (2 / 3).

Приклади

У гаманці маємо тисячу гривень дрібними. Крім того, у саду маємо двох робітників, які цілу ніч копали могилу для сусідки, що постійно зазирає у вікно нашої вітальні. Оскільки Тарас працював швидше за Іванка, він отримає більше грошей, а саме у відношенні 7:3. Скільки ж вони отримають за свою морбідну роботу, якщо припустити, що ми не скупі й віддамо їм цілу тисячу?

Рахується це просто. Маємо відношення 7:3. Тобто Тарас отримає сім частин, а Іванко лише три. Додаємо 7 + 3 = 10 і цим числом ділимо тисячу, яку хочемо їм віддати: 1000 / 10 = 100. Так ми знайшли, скільки гривень припадає на одну частину. Тарас має отримати сім частин: 100 · 7 = 700, а Іванко три частини: 3 · 100 = 300. Готово — Тарас отримає 700 гривень, а Іванко 300.

Це найпростіший спосіб розв'язання задач на відношення. Відношення, по суті, лише виражає частини певного цілого. Якщо відношення 1:2, це означає, що речовина A становить 1/3 цілого, а речовина B — 2/3. Це просто інакше записані дроби. Знаменник знаходимо як суму всіх частин відношення, а в чисельник підставляємо задані частини. Якщо додати всі частини, має вийти ціле, тобто одиниця. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Можна виразити й відсотками: 33,3 % і 66,7 % (приблизно). Ще один простий приклад:

Люся і Петрик товаришують ще з дитинства, але, на жаль, кожне з них пішло в інший університет, і життя надовго їх розлучило. Люся вивчала історію, а Петрик — математику й фізику. Через роки вони зустрілися у своїй улюбленій корчмі «У Мокрого водяника» і заговорилися. Люся розповіла Петрикові, що відтоді, як вони не бачилися, мала шістнадцять партнерів (Люся була дуже гарною дівчиною й трохи легковажною). Але Петрик був хитрун і не назвав Люсі точної кількості своїх дівчат, лише сказав, що відношення її партнерів до його партнерок дорівнює 8:3. Одне слово, математик… Але Люся мала не лише ідеальні параметри 89-61-88, а й розум, тож почала рахувати: «Гаразд, мої шістнадцять партнерів відповідають вісімці у відношенні, яке мені назвав Петрик. Тож щоб дізнатися, скільки хлопців припадає на одну частину відношення, треба поділити 16 / 8 = 2. Отже, одній частині відповідають два партнери. У Петрика частин три, тож кількість його партнерок дорівнює два помножити на три, тобто шість». Петрик погодився й замовив ще один напій. Після того вечора в обох рахунок зріс рівно на одиницю, але це вже інша історія.

Іринка працювала барменкою в закладі «Sk8 is Gr8». Одного вечора до неї біля стійки підійшов трохи напідпитку чоловік і захотів особливий коктейль. Він сказав барменці: «Дівчино, я хочу це в півлітровий кухоль. Хочу там банановий сік, колу і каву. Усе у відношенні 5:2:3». Барменка Іринка здивувалася, але клієнт завжди має рацію. Взялася до роботи. Спершу додала всі частини: 5 + 2 + 3 = 10. У півлітровий кухоль вміщується 500 мл рідини. Тож треба було з'ясувати, скільки мілілітрів припадає на одну частину. Це легко: 500 / 10 = 50. Одній частині відповідає 50 мілілітрів. Отже, у склянку вона налила 5 · 50 = 250 мл бананового соку, 2 · 50 = 100 мл коли і 3 · 50 = 150 мл кави. Коли чоловік з'явився вдруге, він просив ключ від туалету.

Масштаб карти

Класичне застосування відношень — також масштаб карти.