Факторіал

Факторіал числа n дорівнює добутку всіх натуральних чисел, які не більші за n. Факторіал записують за допомогою знака оклику: n!. При цьому для нуля за означенням 0! = 1. Факторіал застосовують насамперед у комбінаториці, де за його допомогою рахують, наприклад, перестановки. Скажімо, факторіал п'яти дорівнює 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Означення факторіала

Факторіал можна означити по-різному. Найпростіше, мабуть, так:

$$ n! = \begin{cases} 1&\text{якщо n = 0}\\ n\cdot (n-1)!&\text{інакше} \end{cases} $$

Можна також скористатися записом через добуток:

$$ n!=\prod_{k=1}^nk $$

Або ще через інтеграл:

$$ (z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0. $$

Обчислення з факторіалами

З факторіалами часто доводиться працювати в дробах. Тут використовують те, що n! = n · (n − 1)!. Це випливає з означення, покажемо на прикладі. Ми знаємо, що факторіал чотирьох, 4!, дорівнює добутку таких натуральних чисел: 4 · 3 · 2 · 1. При цьому добуток 3 · 2 · 1 дорівнює факторіалу трьох: 3 · 2 · 1 = 3!. Тоді факторіал чотирьох можна записати як 4! = 4 · 3!.

$$ 4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3! $$

Завдяки цьому багато різних факторіалів у дробах можна ефективно скоротити. Приклад — спрости вираз:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Спрощуємо за формулою, яку щойно згадано. У чисельнику факторіал можна розкласти на n · (n − 1)!, а це ще раз (за тією самою формулою) розкласти на n · (n − 1) · (n − 2)!. Тепер дріб можна гарно скоротити:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)$$

Ще один приклад:

$$\begin{eqnarray} \frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\ &=&\frac{n}{n+2} \end{eqnarray}$$

І останній приклад на факторіал:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ &=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\ &=&(2n+2)(2n+1) \end{eqnarray}$$