Вираження змінної

Як виразити зі складнішої формули чи дробу одну конкретну змінну. Цей прийом особливо потрібен, коли працюєш з різними формулами, у яких є кілька змінних. А в поєднанні з іншими формулами можна досягти дивовижних результатів: вивести з нічого все.

Прості лінійні вирази

Розглянемо таку формулу: ax + b = c. Як із цієї уявної формули виразити x? Починаємо завжди з того, що всі доданки зі змінною, яку виражаємо, переносимо в ліву частину, а решту — у праву. Теоретично байдуже, що в якій частині, але прийнято, щоб невідома, яку виражаємо, стояла ліворуч. Отже, спершу переносимо b у праву частину, тобто до рівняння додаємо −b:

\begin{eqnarray} ax + b &=& c \quad /-b\\ ax &=& c -b \end{eqnarray}

Доданки зі змінною вже в одній частині, але нам іще заважає a. Як елегантно від нього позбутися? Що треба зробити з виразом ax, щоб отримати лише x? Так, поділити вираз — а отже, і все рівняння — на a, тобто помножити на $\frac{1}{a}$. При цьому a має бути відмінним від нуля (на нуль ділити не можна). Якщо так зробити, отримаємо:

\begin{eqnarray} ax &=& c -b\quad\cdot\frac{1}{a}\quad(a\ne0)\\ x &=& \frac{c-b}{a} \end{eqnarray}

Готово. Ще один приклад:

$$2ax − 3bx = 10a$$

Знову потрібно виразити x. Доданки з невідомою вже в лівій частині, тож роботи трохи менше. Але ускладнення в тому, що там два доданки з невідомою. Цю ситуацію розв'яжемо винесенням спільного множника за дужки. З лівої частини рівняння винесемо x і отримаємо:

\begin{eqnarray} 2ax − 3bx &=& 10a\\ x(2a − 3b) &=& 10a \end{eqnarray}

У попередньому прикладі ми мали вираз ax і хотіли отримати лише x, тому помножили все рівняння на $\frac{1}{a}$. Тепер у рівнянні є вираз x(2a − 3b), і знову потрібно знайти x. Робимо те саме: ділимо все рівняння на вираз (2a − 3b). Нічого не бійся, рівняння справді можна поділити на цілу дужку, лише має виконуватися умова 2a − 3b ≠ 0.

\begin{eqnarray} x(2a − 3b) &=& 10a\quad /\cdot \frac{1}{2a − 3b}\\ x &=& \frac{10a}{2a-3b} \end{eqnarray}

Дроби

Якщо маємо вираз із дробами, використовуємо ті самі перетворення рівнянь, лише слід пильнувати, щоб випадково не поділити чи не помножити на нуль. Приклад:

$$ \frac{a}{x}=\frac{b}{c} $$

Хочемо виразити x. Помножимо все рівняння на x — тільки треба додати припущення, що x ≠ 0. Воно виконується й так, адже в рівнянні є дріб $\frac{a}{x}$, де x стоїть у знаменнику, а на нуль ділити не можна. Отримаємо рівняння:

\begin{eqnarray} \frac{a}{x}&=&\frac{b}{c}\quad/\cdot x\quad(x\ne0)\\ a &=& \frac{bx}{c}\quad/\cdot c\quad(c\ne0)\\ ac&=&bx\quad\cdot\frac{1}{b}\quad(b\ne0)\\ \frac{ac}{b}&=&x\\ x&=&\frac{ac}{b} \end{eqnarray}

Виражаючи невідому, просто користуйся звичайними рівносильними перетвореннями рівнянь.