Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna to taka funkcja, która przyporządkowuje elementy „na odwrót” niż funkcja wyjściowa.

Przykład na początek

Na początek weźmiemy prostą funkcję liniową f(x) = 2x. Jak będą wyglądać wartości tej funkcji? Na przykład dla kilku pierwszych liczb naturalnych wartości funkcji wyglądają tak:

$$\begin{eqnarray} f(1)&=&2\\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&6\\ f(4)&=&8\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Widzimy, że jeśli do funkcji wstawimy dwójkę, funkcja zwróci czwórkę. Co powinna robić funkcja odwrotna do tej funkcji? Powinna działać odwrotnie — wstawiamy do niej czwórkę, a funkcja powinna zwrócić dwójkę. Funkcja odwrotna, oznaczana f⁻¹, powinna więc przyporządkowywać elementy na odwrót, czyli tak:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(2)&=&1\\ f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(6)&=&3\\ f^{-1}(8)&=&4\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Jak to zrobić? Skoro funkcja wyjściowa zwracała podwojony parametr x, to funkcja odwrotna powinna, na odwrót, zwracać połowę parametru x. Jeśli wstawimy trójkę, po podwojeniu mamy szóstkę. Jeśli z szóstki weźmiemy połowę, wracamy do trójki. Funkcja odwrotna miałaby zatem taki wzór:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definicja

Teraz zdefiniujmy funkcję odwrotną porządnie. Weźmy funkcję f o dziedzinie D(f) i zbiorze wartości ZW(f). Z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu x z dziedziny D(f) mamy jakiś element y ze zbioru wartości ZW(f), dla którego zachodzi f(x) = y.

Funkcja odwrotna f⁻¹ to funkcja, dla której zachodzi:

$$f(x)=y\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x.$$

Co mówi nam ta definicja? Że jeśli wywołamy funkcję f z argumentem x i otrzymamy w ten sposób wartość y, to funkcję odwrotną musi dać się wywołać z argumentem y i musi ona zwrócić wartość x.

Pokażmy to jeszcze na rysunkach. Pierwszy rysunek przedstawia funkcję wyjściową f, która zwraca podwojoną podaną wartość. Lewe kółko przedstawia dziedzinę, czyli zbiór, z którego wybieramy wartości za x. Prawe kółko przedstawia zbiór wartości, czyli wszystkie wartości, jakie może przyjmować funkcja. Strzałki pokazują, które wejście przechodzi na które wyjście. Strzałek powinno tam być oczywiście nieskończenie wiele, to tylko mały fragment funkcji.

Dalej jest rysunek funkcji odwrotnej. Funkcja odwrotna będzie wyglądać bardzo podobnie, przede wszystkim zmieni się kierunek strzałek, a także dziedzina i zbiór wartości. Te też zamienią się miejscami.

Widzimy, że funkcja wyjściowa odwzorowywała D(f) w ZW(f), a funkcja odwrotna odwzorowuje na odwrót, ZW(f) w D(f). Zachodzi więc, że dziedzina funkcji wyjściowej jest równa zbiorowi wartości funkcji odwrotnej, a zbiór wartości funkcji wyjściowej jest równy dziedzinie funkcji odwrotnej.

Istnienie funkcji odwrotnej

Przede wszystkim funkcja odwrotna nie zawsze musi istnieć, a to z powodu podstawowej własności funkcji. Jeśli weźmiemy dwa takie same elementy dziedziny a = b, to funkcja musi zawsze zwrócić ten sam wynik f(a) = f(b). Wróćmy do funkcji, która zwracała podwojoną wartość: zawsze musi zachodzić f(5) = 10. Nie może się zdarzyć, że funkcja zwróci na przykład trzynaście: f(5) = 13 — z definicji coś takiego u funkcji nie może wystąpić.

A teraz spróbujmy przeanalizować sytuację, w której mamy na przykład funkcję kwadratową f(x) = x². Co zwróci funkcja, jeśli wywołamy ją z argumentami x₁ = 2 i x₂ = −2? W obu przypadkach funkcja zwróci wartość 4:

$$\begin{eqnarray} f(2)&=&4\\ f(-2)&=&4 \end{eqnarray}$$

Na razie wszystko w porządku. Ale jak wyglądałaby funkcja odwrotna? Gdybyśmy zbudowali funkcję odwrotną do tej funkcji kwadratowej, musiałoby jednocześnie zachodzić:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(4)&=&-2 \end{eqnarray}$$

A to, jak wiemy, nie jest możliwe. Funkcja nie może zwrócić różnych wyników dla tego samego argumentu. Kiedy więc funkcja odwrotna istnieje? Wtedy, gdy dla żadnych dwóch różnych argumentów funkcja nie zwraca tej samej wartości. A to jest dokładnie definicja funkcji różnowartościowej:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Funkcja odwrotna do funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest różnowartościowa. Wyjaśnijmy jeszcze na rysunkach, dlaczego naprawdę nie może istnieć funkcja odwrotna do funkcji, która nie jest różnowartościowa. Przedstawmy za pomocą strzałek fragment funkcji kwadratowej f(x) = x²:

Gdybyśmy spróbowali odwrócić strzałki, dostalibyśmy taki rysunek:

Dostajemy rysunek, na którym z jednego punktu wychodzą dwie strzałki do różnych liczb w drugim zbiorze. To nie spełnia definicji funkcji, dlatego funkcja odwrotna nie może istnieć.

Interpretacja graficzna

Jeśli weźmiesz wykres funkcji i istnieje do niej funkcja odwrotna, to wykresy tych dwóch funkcji będą symetryczne względem dwusiecznej I i III ćwiartki układu współrzędnych — czyli względem wykresu funkcji f(x) = x.

Obliczanie funkcji odwrotnej

Jeśli masz daną funkcję i twoim zadaniem jest obliczyć funkcję do niej odwrotną, postępujesz tak, że z funkcji robisz równanie i wyznaczasz z niego x. Wspomnianą na początku funkcję liniową f(x) = 2x przekształcimy więc tak:

$$y=2x$$

Od tego zaczniemy. Celem jest wyrazić x za pomocą y. Tutaj idzie to dość szybko, po prostu dzielisz równanie przez dwa

$$\frac{y}{2}=x$$

i masz wyznaczone x. Funkcja odwrotna będzie więc równa $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Kolejny przykład:

$$f(x)=4x-7$$

Zapisujemy jako równanie i wyznaczamy x:

$$\begin{eqnarray} y&=&4x-7\quad/+7\\ y+7&=&4x\quad/:4\\ \frac{y+7}{4}&=&x \end{eqnarray}$$

Funkcja odwrotna będzie więc wyglądać tak:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Możemy to sprawdzić. Obliczmy wartość funkcji wyjściowej dla trójki:

$$f(3)=4\cdot3-7=12-7=5$$

Jeśli dobrze obliczyliśmy funkcję odwrotną, to po wywołaniu jej z wartością 5 powinniśmy dostać z powrotem trójkę:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Kolejny przykład:

$$f(x)=x^2+1$$

Wyznaczamy x:

$$\begin{eqnarray} y&=&x^2+1\quad/-1\\ y-1&=&x^2\quad /\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}&=&\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$$

Teraz znaleźliśmy się w nieprzyjemnej sytuacji. Z x² nie możemy po prostu wyciągnąć pierwiastka i dostać x, musimy dodać wartość bezwzględną, czyli:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Po podstawieniu do poprzedniego równania:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

W ten sposób dostajemy jednak dwa wyniki, jeden dodatni i drugi ujemny:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt{y-1}\\ x_2&=&-\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$$

W efekcie dla jednego y mamy dwa różne x, z wyjątkiem sytuacji, gdy pierwiastek jest równy zero. Możemy jednak znaleźć funkcję odwrotną na pewnym przedziale. Gdy przyjrzymy się wykresowi funkcji:

zauważymy, że funkcja odwrotna mogłaby istnieć na przedziale <0,∞). Możemy więc wziąć tylko wyznaczone x₁. W tym momencie dostaniemy funkcję, której wykres widzisz na rysunku:

Możemy więc powiedzieć, że na danym przedziale istnieje funkcja odwrotna

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$