Czym jest funkcja

Funkcja to absolutnie podstawowe pojęcie w matematyce i warto, żebyś je dobrze rozumiał. Matematyka jest pełna funkcji, a niejeden symbol, który znasz ze szkoły podstawowej, tak naprawdę oznacza funkcję.

Funkcja jak automat

Widziałeś kiedyś automat do kawy? Co jest dla niego typowe? Wrzucasz do niego jakieś monety, a automat wypluwa kawę. Jeśli wrzucisz więcej monet, automat odpowie lepszą kawą.

Funkcja to taki matematyczny automat do kawy. Wkładasz do funkcji jakieś dane wejściowe (monety), a funkcja zwraca jakiś wynik (kawę). Na tym polega cała podstawowa idea funkcji.

Zadaniem funkcji jest przyjąć coś na wejściu, jakąś liczbę, zrobić coś z tą liczbą w środku, zmienić ją, a potem zwrócić tę nową liczbę na wyjściu.

Podstawowe pojęcia

Każda funkcja ma nazwę, która ją oznacza. Najczęściej funkcję nazywamy literą „f”. Funkcja potrzebuje też wzoru (przepisu), który określa, jak ma działać — jak automat ma tę kawę zaparzyć. Na początek możemy sobie wyobrazić funkcję jako tabelkę z dwiema kolumnami. W pierwszej kolumnie będzie wejście (w automacie byłaby to wartość monet), a w drugiej wyjście funkcji (kawa).

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{wejście}&\mbox{wyjście}\\ \hline 1&2\\ 2&4\\ 3&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Widać, że wyjście jest zawsze dwa razy większe niż wejście, ale wcale nie musi tak być. Możemy mieć też taką tabelkę:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{wejście}&\mbox{wyjście}\\ \hline 0&22\\ 122&74\\ -3&1\\ 42&-45\\ 8&84\\ \hline \end{array}$$

Na początek wystarczy nam jednak pierwsza, regularna tabelka. Możemy powiedzieć, że ta tabelka definiuje funkcję f. Co robi funkcja? Wkładamy do niej jakieś wejście, funkcja wyszukuje je w pierwszej kolumnie tabelki i zwraca wyjście z tego samego wiersza. Gdybyśmy szukali wyjścia funkcji dla liczby trzy, zapisalibyśmy to tak:

$$ f(3) = 6 $$

Znaleźliśmy wiersz, w którym wejście wynosi trzy, a w tym samym wierszu wyjście wynosi sześć. Dalej zachodzi f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 oraz f(5) = 10. Zapisywanie funkcji za pomocą tabelek może się wydawać przejrzyste dla kilku liczb, ale gdy liczb jest więcej, jest to skrajnie niepraktyczne. Dlatego potrzebujemy innej formy zapisu. Funkcję możemy zadać wzorem. W naszej tabelce wyjście było dwa razy większe niż wejście. Wzorem zapisalibyśmy to tak:

$$ f(x) = 2 \cdot x $$

To prosta funkcja liniowa, ale na razie nie ma to znaczenia. Co mówi nam ten zapis? Litera f to nazwa funkcji, to już wiemy. Wyrażenie w nawiasie, czyli litera x, oznacza parametr funkcji. W przykładzie z automatem odpowiadałoby to pojęciu „wartość wrzuconych monet”. Parametr funkcji to zmienna, w której zapisuje się przekazana przez nas wartość. Gdybyśmy do automatu (funkcji) wrzucili dwadzieścia złotych, w funkcji zachodziłoby x = 20. A dalej automat czy funkcja zrobi z tą wartością, co trzeba.

Dalej jest znak równości, a za nim sam przepis, który mówi, co należy zrobić z daną wartością x. Widzimy, że funkcja mnoży przekazaną wartość x przez dwa. To wszystko.

Kolejne przykłady funkcji

Po prawej stronie może stać praktycznie dowolne wyrażenie matematyczne. Mogą tam być też inne funkcje, mogą tam być warunki, które doprecyzowują definicję. Moglibyśmy słownie zdefiniować funkcję na przykład tak: „jeśli na wejściu jest liczba parzysta, zwróć zero, jeśli na wejściu jest liczba nieparzysta, zwróć jedynkę”. Będzie to funkcja, która zwraca tylko jedynkę i zero, ale funkcją będzie.

Ważne jest, żeby zrozumieć, że funkcję można zdefiniować niemal dowolnie. Oczywiście funkcja też ma swoje zasady, ale teraz nie są one aż tak ważne — jedna z nich zresztą pojawi się już w następnym rozdziale. Definicja funkcji nie musi na pierwszy rzut oka mieć sensu, nie musi mieć żadnego porządku. Funkcja może spokojnie zwracać zawsze podwojoną wartość, z wyjątkiem sytuacji, gdy na wejściu jest siódemka. Wtedy zwróci dziewiątkę. To raczej bez sensu, ale to też jest funkcja.

Funkcją możemy nazwać również dużą część czynności, które wykonujemy poza matematyką. Jeśli na przykład policzysz długość słowa „mamut”, możemy powiedzieć, że wywołałeś funkcję o nazwie „długość słowa” i przekazałeś jej jako argument słowo „mamut”. Funkcja policzyła litery w słowie i zwróciła na wyjściu liczbę pięć.

Chcesz obliczyć procent składany od pożyczki albo kredytu hipotecznego? To też może załatwić funkcja. Po prostu definiujesz funkcję tak, żeby obliczała wysokość odsetek na przykład po dziesięciu latach. Chcesz wiedzieć, ile kilometrów samochód przejedzie jeszcze na określonej liczbie litrów benzyny? Zdefiniuj sobie funkcję! Jeśli samochód przejeżdża średnio na litrze benzyny, powiedzmy, 11 kilometrów, to funkcję, która policzy, ile kilometrów jeszcze przejedziemy, możemy zdefiniować tak:

$$ przejedziemy(x) = 11 \cdot x $$

Jeśli zostało nam już tylko 17 litrów benzyny, obliczymy odległość, wywołując funkcję tak:

$$ przejedziemy(17) = 11 \cdot 17 = 187 $$

Funkcja to po prostu cokolwiek, co dla jakiegoś wejścia zwraca nam jakąś liczbę. Zwróć odległość w linii prostej z Opola do jakiegoś miasta, zwróć długość najdłuższej piosenki na podanym albumie, zwróć liczbę włosów na głowie podanego człowieka, zwróć liczbę nóg przekazanego zwierzęcia itp.

Podstawowa własność funkcji

Niezwykle ważnym warunkiem dla funkcji jest — jeśli wrócimy do tabelki — żeby w pierwszej kolumnie, z wejściem, żadna wartość nie powtarzała się dwa razy. Gdyby tabelka wyglądała tak:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{wejście}&\mbox{wyjście}\\ \hline 1&2\\ 1&4\\ 1&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

… to nie bylibyśmy w stanie powiedzieć, co funkcja ma zwrócić, gdy włożymy do niej jedynkę:

$$ f(1) = ? $$

Funkcja musi być jednoznacznie określona, nie może się zdarzyć, że dla tego samego wejścia zwróci dwa różne wyniki. Tak się po prostu nie da. Od funkcji wymagamy, żeby dla tego samego wejścia zawsze zwracała to samo wyjście. Uwaga: ten wymóg nie dotyczy drugiej kolumny, czyli wyjścia. Wyjścia mogą być spokojnie takie same, to nam nie przeszkadza. Ta tabelka byłaby poprawna:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{wejście}&\mbox{wyjście}\\ \hline 1&2\\ 2&2\\ 3&2\\ 4&2\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Obliczanie wartości funkcji

Wiemy już, jak nazywają się poszczególne części funkcji i jak mniej więcej funkcję zdefiniować. Teraz krok po kroku wyjaśnimy, jak przebiega obliczanie wartości funkcji. Mamy więc funkcję f(x) = 2x. Co się stanie, gdy wrzucimy do funkcji trójkę? Wrzucić do funkcji trójkę oznacza podstawić za parametr funkcji liczbę trzy. Argumentem funkcji jest trójka, więc za każde x podstawiamy trójkę:

$$ f(3) = 2 \cdot 3 $$

Już widać, że funkcja wypluje szóstkę, tak samo jak przed chwilą tabelka. Tabelka ograniczała się jednak tylko do pięciu liczb, a nasza nowa definicja poradzi sobie także z innymi liczbami:

$$\begin{eqnarray} f(10)&=& 2\cdot10=20\\ f(54)&=& 2\cdot54=108\\ f(-7)&=& -14 \end{eqnarray}$$

Takie postępowanie, gdy za zmienną x podstawiamy konkretne wartości, nazywamy obliczaniem wartości funkcji albo wywołaniem funkcji, ewentualnie zastosowaniem funkcji. Jeśli więc mówimy, że „wywołujemy funkcję f z argumentem 5”, chcemy obliczyć wartość f(5), która w naszym przypadku wynosi f(5) = 2 · 5 = 10.

Dwa kolejne pojęcia do zapamiętania. To, z czym funkcję wywołujemy (to, co podstawiamy za x), nazywa się argumentem funkcji. Może się to wydawać trochę zagmatwane, ale jeśli mamy funkcję f(x) i wywołamy ją z wartością trzy f(3), to x jest parametrem funkcji, a 3 jest argumentem funkcji. Argument to sama wartość, z którą wywołujemy funkcję. Parametr to pierwotna zmienna, za pomocą której funkcję zdefiniowano. To raczej techniczny szczegół.

Kolejne pojęcie to wartość funkcji, czyli wartość, którą funkcja zwraca na wyjściu. Poprzednia funkcja, wywołana z liczbą trzy, zwróciła liczbę sześć. Liczba sześć jest więc w tym przypadku wartością funkcji. Pełnym zdaniem powiedzielibyśmy „funkcja f przyjmuje dla argumentu trzy wartość sześć”. Mówi się też o wartości funkcji „w punkcie” — przez punkt rozumie się w tym kontekście zwykle argument funkcji.

Funkcje w zwykłej matematyce

W zwykłej matematyce występuje mnóstwo funkcji, które mają bardzo szczególny sposób zapisu, więc wcale nie wygląda na to, że to funkcje. Na przykład wartość bezwzględna nie jest niczym innym niż funkcją. Na wejściu przyjmuje jakąś liczbę, a na wyjściu zwraca albo tę samą liczbę, albo liczbę o przeciwnym znaku.

Na pewno znasz symbol pierwiastka: $\sqrt{}$. To też jest funkcja. Na wejściu przyjmuje jakiś argument, a na wyjściu zwraca pierwiastek kwadratowy. Podobnie druga potęga x² jest funkcją. Na wejściu przyjmuje liczbę, a na wyjściu zwraca kwadrat tej liczby.

Warto sobie uświadomić, że większość takich magicznych symboli nie jest w rzeczywistości niczym bardziej skomplikowanym niż jakaś zwykła funkcja. Nie patrz na symbol $\sqrt{}$ jak na dziwny zakrzywiony twór, patrz na niego jak na funkcję.

Szczególnie dla początkującego mylące może być wyrażenie pełne symboli matematycznych, z którymi biedny początkujący w połowie przypadków nie wie, co zrobić, a przecież chodzi po prostu o złożenie kilku funkcji. Weźmy na przykład takie wyrażenie:

$$ \sqrt{|x^2|}! $$

Matematyczny laik, gdy na to spojrzy, podrapie się po głowie i nie bardzo będzie wiedział, co z tym zrobić. A przecież w tym wyrażeniu są w sumie cztery całkiem proste funkcje, które stosuje się po kolei do zmiennej x. Można by to rozpisać za pomocą nazwanych i zagnieżdżonych funkcji tak:

$$ \mbox{silnia}(\mbox{pierwiastek}(\mbox{abs}(\mbox{kwadrat}(x)))) $$

Zapis jest dłuższy, ale dla kogoś, kto nie zna się na symbolach, chyba bardziej przejrzysty. Jednocześnie jest też zupełnie jasne, w jakiej kolejności będą wywoływane poszczególne funkcje.

Podsumowanie zapisu funkcji

Funkcja ma nazwę, która może być w zasadzie dowolna. Ogólną funkcję najczęściej nazywamy f. Każda funkcja ma określoną liczbę parametrów, które piszemy w okrągłych nawiasach za nazwą. Gdyby nasza funkcja f miała dwa parametry, zapisalibyśmy to tak: f(x, y) albo f(a, b). Nazwy parametrów na ogół nie mają znaczenia.

Niektóre często używane funkcje mają własny symbol, na przykład pierwiastek ma symbol $\sqrt{}$. Dalej sin albo sin(x) to funkcja sinus, |x| to funkcja wartość bezwzględna, a x! to funkcja silnia.

Jeśli funkcja ma jeden parametr, czasem pomijamy nawiasy, co czasem poprawia przejrzystość zapisu, a czasem nie. Zatem sin(x) i sin x to poprawne zapisy funkcji sinus.

Gdy mówi się o parametrze funkcji, chodzi o literę x w zapisie f(x). Argument to z kolei wartość, z którą funkcję wywołujemy, czyli którą podstawiamy za x. Często te dwa pojęcia się zlewają. Wartość funkcji to wartość, którą otrzymujemy po wywołaniu funkcji. Zapisujemy ją po prostu jako nazwę funkcji, nawias i argument. Jeśli mamy funkcję f(x) = 2x i za parametr x podstawimy argument x = 4, to mówimy, że wywołaliśmy funkcję z argumentem x = 4, a otrzymana wartość funkcji f(4) jest równa osiem.